Anteil der Geld

Der Anteil des Geldes ist die mathematische Konstante 1 + √2. Als die Quadratwurzel von zwei ist irrationale Zahl. Sein Name bezieht sich auf den goldenen Schnitt.

Definition

Der Anteil des Geldes, bezeichnet, lohnt.

Es kann auch als Kettenbruch rein periodische geschrieben werden:

Immobilien

Da der Anteil von Silber ist eine Zahl Pisot-Vijayaraghavan, hat es eine ungewöhnliche Eigenschaft Diophantische Approximation: Im Anschluss an die Bruchteile seiner Macht gegen 0.

Da die aufeinanderfolgenden Potenzen von der Form sind

wobei die Reihenfolge der Zahlen Pell:

Zum Beispiel:

Die durchschnittliche Geld

Die allgemeineren Kettenbrüche für jede ganze Zahl m & gt; 0 sind Durchschnittswerte von Geld bezeichnet. Der Anteil an Gold und Silber ist.

Die Kettenbruchprüfungen

Es daher auch ihre Umkehrbruchteil und die Lösung der Gleichung

so ist

und dass der ganzzahlige Teil gleich m ist.

Kann für negative m durch die gleiche Formel definiert werden, und stellte fest, dass, während

Der Gleichung hergeleitet, dass

die die Sequenz der Fibonacci-Polynomen:

Danach wird) ist daher eine Folge der Lucas:

Die Silberrechtecke

Ein Rechteck Anteil gleich dem Anteil von Silber wird manchmal als "Silber Rechteck", in Analogie mit goldenen Rechtecken.

Aber dieser Ausdruck ist nicht eindeutig: "Rechteck Geld" kann auch auf ein Rechteck der Anteil √2, auch unter dem Namen Rechteck in Bezug auf A4 Papierformat A4 bekannt.

Diese beiden Arten von Silber Rechtecke haben die Eigenschaft, die Beseitigung von ihnen zwei Quadrate, kann man ein ähnliches Rechteck zu erhalten. Tatsächlich, indem die größtmögliche Quadrat einer Silber Rechtecks ​​erhält man eine Silberrechteck in anderer Form, so daß durch Wiederholen, gibt es einen Silberrechteck in der gleichen Form wie das Original, aber reduziert um den Faktor 1 + √2.

Irrationalität

Die Irrationalität der Silberanteil und damit √2 ist von unendlicher Abstieg durch den Bau unten Nachteile gezeigt, abgeleitet.

Wir bauten ein Basisrechteck und einer Höhe q, p = q√2. Anteil, gleich, ist ein Silberanteil.

Das Ziel ist, füllen Sie die größere kann Platz Rechteck. Der größte seitig mit dem ersten Platz ist q, weil die Höhe gleich q ist. Wie größer als 2q und streng kleiner als 3q ist, kann man zwei Quadrate der Seiten q in rot in der Abbildung zu konstruieren. Der verbleibende Bereich ist ein Rechteck, und q Seiten. Nun ist es die Formel hat:

Es zeigt an, dass die anfängliche Rechteck und blau ähnlich sind, wobei der Anteil zwischen den beiden in dem Bericht. Es ist dann möglich, den übrigen Bereich der genau zwei Quadrate der maximalen Größe zu füllen, wie oben beschrieben und der restliche Bereich ist immer noch ein Rechteck ähnlich dem Original. Schließlich haben wir zwei Quadrate der Seiten q und zwei Quadrate der Seiten mal kleiner als der erste zu bekommen, hört nie auf, dann zwei Quadrate Seiten mal kleiner als der vorherige und folgende.

Wenn es eine Einheit, wie beispielsweise die Länge der Basis und die Höhe sind ganze Zahlen, dann die Seiten des Platzes sind immer verschiedene ganze Zahlen, die dafür sorgt, dass die Folge irgendwann aufhören, weil der Platz kann unendlich klein werden. Der Anteil an Silber ist nicht rational.

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