Anzahl surreal

Ist nicht zu verwechseln mit dem Surrealismus zu sein.

In der Mathematik, die surrealen Zahlen sind Elemente einer Klasse einschließlich der realen und der Ordnungszahlen trans und auf welche definiert ist eine Körperstruktur; Dies bedeutet insbesondere, dass wir definieren inverse transOrdnungsZahlen; Ordinalzahlen und ihre Inversen sind jeweils größer und kleiner als jede positive reelle Zahl ist. Surreale nicht ein Ganzes im Sinne der üblichen Theorie.

Die surrealen Zahlen wurden von John Conway eingeführt und von Donald Knuth 1974 in seinem Buch Surreal Numbers popularisiert: Wie zwei Ex-Studenten eingeschaltet, um Reine Mathematik und Gefunden Gesamt Glück.

Die pseudo-reellen Zahlen, die ebenfalls von Knuth eingeführt, über-Klasse surrealen Zahlen, mit weniger als diesen Bedingungen konstruiert.

Surreal Nummern

Vorstellung

Konstruktion surreal Nummern ist ähnlich der Konstruktion der reellen Zahlen über Dede Schnitte, sondern nutzt das Konzept der trans Induktion. Es ist auf den Bau von neuen Zahlen, die durch zwei Reihen von Zahlen bereits gebaut, und möglicherweise leer verbrieft ist. Die neue Nummer so aufgebaut ist, erwähnt, wird größer als jede Anzahl und kleiner als jede Anzahl sein, in einer Reihenfolge, die später definiert werden wird. Damit dies möglich ist, wird eine Beschränkung auferlegt und es ist nötig, dass jede Zahl kleiner als jede Zahl ist.

Definition

Und zwei Sätze sind surreal Zahlen sind, dass:

  • für alle und alle,

So ist eine surreale Zahl.

Bei einer surrealen Nummer angerufen und die ganze linke und die rechte Menge von jeweils.

Um die Inflation von Klammern zu vermeiden, verkürzen wir sie, in und.

Wir sehen, dass es sich um eine wiederkehrende Definition; Dies wird später erläutert.

Reihenfolge

Für die obige Definition sinnvoll zu sein, ist es notwendig, um eine binäre Beziehung zu den surreal Nummern definieren.

Wenn zwei Zahlen und surreal. genau dann, wenn für alle, wenn Sie treffen nie in allem, wir haben nie.

Wiederum ist diese Definition wiederkehrend.

Diese Beziehung definiert nur vorbestellen, weil es nicht antisymmetrisch. Um dieses Problem zu umgehen, wird eine neue Beziehung auf surreale Zahlen definiert:

Dies ist eine Äquivalenzrelation und Ordnung durch die Äquivalenzklasse induziert ist eine totale Ordnung, eine Äquivalenzklasse kann dann als eine einzige Zahl zu betrachten.

Geschäftstätigkeit

  • Wir definieren die Addition zweier Zahlen surreal von:
  • Denial:
  • Wie für die Multiplikation zweier Zahlen surreal:

Es ist möglich zu zeigen, dass diese Operationen wohldefinierten surreal Zahlen. Wir können auf die eindeutige Äquivalenzklassen oben definiert verallgemeinern:

  • Und wenn ja,
  •  und
  • .

Schließlich können wir zeigen, dass diese Operationen auf den Äquivalenzklassen definieren eine geordnete Bereich, außer dass sie eine ganze ausbilden, sondern eine echte Klasse. Es ist möglich, zu zeigen, dass dies die größte bestellte Feld, das heißt, jeder bestellte Feld eingetaucht werden kann; insbesondere ist, dass Körperecht geschlossen.

Von nun an werden wir nicht zwischen einer surrealen Anzahl und Klasse der Gleichwertigkeit zu unterscheiden und sie sollen es direkt surreal Nummer anzurufen.

Gebäude

Wie wir gesehen haben, die beiden früheren Definitionen verwenden das Prinzip der Wiederholung. Es ist möglich, das Wiederholungsintervall zu verwenden, aber es ist interessant, den trans Rekursion berücksichtigen.

Es kann auch notwendig erscheinen, um eine surreale Zahl zu schaffen, um die Wiederholung zu initiieren; kann durch die leere Menge definiert werden und erfüllt diese Funktion.

Bezeichnen, für einen Ordnungs, alle surrealen Zahlen in Schritt wiederholten Auftrag erstellt unter. Genannt Geburtsdatum von einer surrealen Zahl die kleinste Ordnungszahl, so dass.

Die surrealen Zahlen in einer endlichen Anzahl von Schritten erstellt werden als dyadische rationale behandelt werden.

Beispiele

In der Nähe von Schritt definiert:

  • Ganzen:
  • Dyadischen Zahlen:
  • Andere rationale Zahlen als Schnitte zwischen zwei Sätzen von dyadischen Nummern, auf die gleiche Weise, die die irrationalen Zahlen werden als Pausen zwischen Schall.
  • Haupt unendlich wie Ordnungszahlen:

.

  • Die unendlich klein:

Wir können zeigen, dass.

Wie der unendlich groß ist, ist es möglich, Objekte zu definieren

  • Sondern auch mehr unerwartete Objekte wie, die unendlich groß, aber viel kleiner als alles, zum Beispiel ist.

Pseudo-Realzahlen

Dies gibt die Pseudo-reelle Zahlen eher surreal Zahlen, wenn wir die Bedingung zu entfernen, daß kein Teil der gesamten rechten, die nicht kleiner gleich irgendeinem Element des gesamten noch vorhanden sein können. Die surrealen Zahlen bilden eine Untergruppe der pseudo-reellen Zahlen.

Diese Pseudo-reellen Zahlen kann als die Werte von bestimmten Spielen zu interpretieren. Sie sind die Basis der kombinatorischen Spieltheorie von John Conway eingeleitet.

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