Axiom der Paarung

In der Mathematik ist das Paar Axiom eines der Axiome der Mengenlehre, die speziell eingestellt Theorien Zermelo und Fraenkel-Zermelo.

Belichtung

Im Wesentlichen heißt das Axiom, dass:

In der Formensprache der Zermelo-Fraenkel Axiomen ist das Axiom:

in dem es heißt auf Französisch:

Das Axiom zum Ausdruck, dass für je zwei Mengen A und B ist es möglich, eine Reihe c, deren Elemente genau a und b finden. Die Extensionalitatsaxiom kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Menge c ist einzigartig werden. Das Set wird darauf hingewiesen, c {a, b}. Es Paar a und b, wenn a ≠ b, Singleton, wenn a = b bezeichnet. Im letzteren Fall {a, a} als {a} abgekürzt werden.

In der Mengenlehre, wird manchmal als ein Singleton ist ein besonderer Fall in der Hand, zur Erleichterung der Expression in der frühen Entwicklung. So sprechen wir von dem Paar von A und B, auch wenn wir nicht, dass a ≠ b nehmen. Dies steht im Widerspruch zu der Praxis in den Rest der Mathematik, wie beispielsweise Kombinatorik. Praktisch werden die Felder ausreichend Zertrennen so daß es keine Mehrdeutigkeit.

Das Paar Axiom hinreichend einfach und primitiv als Axiom erscheinen oder sein nachweisbare, möglicherweise in eingeschränkter Form, in eine Theorie, die das Gesamtkonzept axiomatizes.

Verallgemeinerung

Das Axiom der Paarung auf beliebige endliche Mengen verallgemeinert werden. Wir haben die folgende Schema Vorschläge:

was bedeutet:

C Dieses Set ist immer noch einzigartig vom Extensionalitatsaxiom und wird bezeichnet {a1, ..., an}.

Diese Verallgemeinerung ist ein Diagramm von Vorschlägen: ein Vorschlag für jede vollendete so endlos Vorschläge. In dieser Phase ist es nicht notwendig, in der Mengenlehre das Konzept der ganzzahligen definiert haben, oder eines endlichen Körpers. Die ganzen Zahlen sind unbedingt die der Metasprache beteiligt. Eine Anweisung kann eine Anzahl von Quantisierern, die für ein Objekt der Theorie abhängt. Mit dem ganzen Set-Theorie sollten wir die Dinge anders sagen. Jedes Diagramm der Vorschläge ist daher mit einem Nicht-Null-Integer-n verbunden. Es kann für n = 0 hinzugefügt werden, dass das absurd ist die Existenz der leeren Menge, die irgendwie ist ein Spezialfall des Diagramms, wenn man bedenkt, semantisch "neutrale Element" der Trennung:

Da wir nicht angeben, dass ai verschieden sind, muss der Bestellvorschlag unmittelbare logische Konsequenz für alle vorgeschlagenen Nicht-Null niedrigerer Ordnung. Der Fall n = 1 wird als Folge des Paares Axiom a = a1 und b = a1 gesehen. Der Fall n = 2 ist das Axiom der Paarung. Cases & gt; 2 kann mit dem Axiom der Paarung und das Axiom der Vereinigung mehrmals gezeigt werden. Zum Beispiel, um den Fall n = 3 zu beweisen, verwenden wir das Axiom der Paarung dreimal hintereinander, um das Paar {a1, a2}, die Singleton {a3} und das Paar {{a1, a2}, {produzieren a3}}. Das Axiom der Vereinigung liefert dann das gewünschte Ergebnis, {a1, a2, a3}.

Jede Anweisung der Regelung ist nachweisbar in der Mengenlehre. Streng genommen braucht es eine Wiederholung in der Meta-Sprache, um zu zeigen, dass alle diese Aussagen sind Theoreme.

Austauschschema und das Paar Axiom

Das Axiom der Paarung konnte von der Mengenlehre Zermelo-Fraenkel weggelassen werden, wie es von der Ersetzungsaxiom und dem Axiom der Potenzmenge abgeleitet. Allerdings haben wir in der Regel zu vermeiden, es zu tun, denn es kommt von den ersten Entwicklungen in der Mengenlehre, zum Beispiel, um Paare zu definieren, während die Ersatzregelung ist nur dann wirklich nützlich für die weiter fortgeschrittenen Entwicklung. Hier ist, wie es abgezogen wird.

Sind irgendwelche zwei Gruppen A und B, um die Existenz des Paares zeigen wollen wir {a, b}.

Zunächst die Existenz der leeren Menge verwendet wird, bezeichnet ∅. Vom Axiom der Potenzmenge kann die Existenz des Singleton {∅}, die alle Teil der leere Menge ist zu zeigen. Wir folgern, immer nach dem gleichen Grundsatz, die Existenz des Paares {∅, {∅}}, die alle Teil des Singleton {∅} ist.

Jetzt verwenden wir den funktionalen Zusammenhang x und y folgendermaßen vor:

{A, b} mit der Existenz des Paares assoziiert {∅, ∅ {}} sorgt diese Beziehung, indem das Vorliegen des Paars.

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