Berechenbare reelle Zahl

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März 26, 2018 Marcel Ebel B 0 5

In der Informatik und Algorithmen, ist eine berechenbare Zahl echter, für die es ein Algorithmus oder eine Turing-Maschine zum Aufzählen folgenden seine Figuren, oder allgemeiner Symbole seiner Schrift in Form von String. Ganz allgemein und gleichwertige, eine reelle Zahl berechenbar, wenn es eine Annäherung so genau zu berechnen, wie Sie möchten, mit einem bekannten Präzision.

Dieser Begriff wurde von Alan Turing in 1936. Es wurde dann in verschiedenen Zweigen der konstruktiven Mathematik, vor allem konstruktive Analyse entwickelt eingeführt.

Die Menge der reellen berechenbar ist eine zählbare Körper. Es enthält beispielsweise alle reellen algebraischen Zahlen oder berühmten Konstanten wie π oder γ.

Tatsächliche noncomputable viel zahlreicher, obwohl es allgemein schwierig ist, zu definieren, und sind weitgehend Zufallszahlen. , Gelingt es jedoch, einige, wie Omega Chaitin konstanten oder Zahlen von der geschäftigen Biber gesetzt zu charakterisieren.

Hauptdefinitionen

Alle Echt x Limit von vielen Folgen von rationalen Zahlen. Es gibt bestimmte Sequenzen von Paaren von ganzen Zahlen, wobei sb ≠ 0 ist, wie zum Beispiel:

Die Zahl x heißt berechenbar, wenn unter diesen Suiten, gibt es, die berechenbar sind. ist auch kalkulierbar.)

Eine äquivalente Definition lautet:

Diese Definition gilt auch, wenn man es jedem "digit" für jede Base, gegebenenfalls auch negativ sein, und dies gilt insbesondere für die Grundplatte 10 hingegen in dem binären System werden die Bits nicht negativ sein, und dies ist in der Regel die Grundlage für die Definition und Berechenbarkeit.

Eine reelle Zahl kann kalkulierbaren auch wenn seine Zahlen nicht direkt bestimmt werden. Eine dritte Definition, immer gezeigt Äquivalent:

Construction berechenbare Zahlen

Sei A eine Menge der ganzen Zahlen sein, die reale

berechenbar ist, wenn und nur wenn die Menge A ist rekursiv.

Konkreter zum Beispiel wissen wir, daß:

Es ist daher möglich, rationale Annäherung an π mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.

Top ist auch jede gegebene Zahl durch eine explizite Ergebnis aus, die bereits gezeigt haben, dass sie kalkulierbar sind Zahlen. Zum Beispiel nicht nur, weil e berechenbar

sondern für jede berechenbare Zahl x der Zahl e ist auch, weil der

Also für jede berechenbare Funktion, das Bild eines berechenbaren Zahl ist eine berechenbare Zahl; beispielsweise der Kosinus eines gegebenen rationalen berechenbar wäre).

Status aller echten berechenbare

  • Die Menge der reellen berechenbar ist ein Teilgebiet der ℝ.
  • Es enthält den Ring von Perioden, sondern auch die Euler-Mascheroni-Konstante γ.
  • Es ist eine echte geschlossene Feld.
  • Dies ist eine abzählbare Menge. Fast alle der realen nicht kalkulierbar. Diese sind größtenteils von Zufallszahlen. Obwohl sie zahlreich sind, ist es schwierig "explizit" zu zeigen. Allerdings kann es Chaitin Omega Konstante oder die von der geschäftigen Biber definierten Zahlen genannt werden.
  • Da die Menge der reellen berechenbare abzählbar ist, könnte man versucht zu sagen, dass die Anwendung von Cantor Diagonalverfahren zu diesem Set geben einen Algorithmus, um eine neue Nummer, die auf einen Widerspruch führen würde, zu berechnen. Die Turing Antwort ist, dass wir nicht wissen, wie man eine Nummer, die jeder berechenbaren Nummern zuweisen oder diese müssen vor der Diagonalisierung erfolgen.
  • Gleichstellung von tatsächlichen kalkulierbar ist nicht entscheidbar.

Erweiterungen

Komplexe Zahl berechenbaren

Durch die Erweiterung, genannt kalkulierbaren komplexen Zahl komplexe Zahl, deren realen und imaginären Teile werden gleichzeitig berechnet.

Echt berechenbare Suite

Eine Folge reeller Zahlen heißt berechenbar, falls es eine berechenbare folgenden Paare von ganzen Zahlen, wobei qm, n ≠ 0 ist, so dass:

Jeder echte xm ist dann klar kalkulierbar.

Wenn nach der Dezimalstelle xm berechenbar ist, so ist eine berechenbare Folge von reellen, aber das Gegenteil ist falsch und sogar ersetzen 10 durch jede Basis & gt; 1.

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