Castor beschäftigt

Eine belebte Biber ist in der Berechenbarkeitstheorie, einer Turing-Maschine, die eine "operative Tätigkeit" Maximum unter allen von einer bestimmten Klasse Turing-Maschinen erreicht. Diese müssen bestimmte Anforderungen erfüllen und muss, nachdem sie auf ein leeres Band ins Leben gerufen zu stoppen.

Eine belebte Biber-Funktion quantifiziert die maximale Aktivität für eine Turing-Maschine mit n Zuständen; Eine solche Funktion ist nicht berechenbar. In der Tat, nach einem bestimmten Punkt, eine Funktion der geschäftigen Biber wächst schneller als jede berechenbare Funktion. Bestimmung der geschäftigen Biber für einen Satz von Turing-Maschinen gegeben n gibt, ist eine rechnerisch unlösbares Problem; In der Praxis kann man nicht einmal hoffen, um es für eine Anzahl n von mehr als 10 zu lösen.

Das Konzept, im Jahr 1962 von der ungarischen Tibor Radó Mathematiker eingeführt wurde, ist eine der ersten bekannten Beispiele für nicht-berechenbare Funktion.

Name

Der Begriff "beschäftigt Biber" ist die wörtliche Übersetzung des englischen Ausdrucks "busy Biber", bezeichnen eine Person vertraut fleißig und fleißig. Der Begriff wurde 1962 von Tibor Radó als "busy Biber-Spiel" in seinem 1962 Artikel On berechenbaren Funktionen-Nr eingeführt.

Definition

Das Spiel Biber eifrig n Zustände, von Tibor Radó eingeführt, verwendet eine Klasse von Turingmaschinen, jedes Mitglied den folgenden Spezifikationen entspricht:

  • Die Maschine verfügt über n Staaten sowie eine spezielle Shutdown-Status, wobei n eine positive ganze Zahl ist; einen von n Zuständen wird als Ausgangszustand festgelegt. Sie werden typischerweise mit den Namen 1, 2, ..., wobei n 1 der Startzustand ist oder A, B, C, ..., wobei A die Anfangszustand.
  • Es verwendet ein einziges Band, der sich bis ins Unendliche auf der rechten und linken Seite.
  • Das Alphabet der Band ist {0, 1}, 0 für leere Symbol.
  • Die Übergangsfunktion der Maschine dauert zwei Eingänge:
  • der aktuelle Zustand;
  • das Symbol in der Zelle der Bandlänge;

und Rück drei Ausgänge:

  • das Symbol überschreiben die von der aktuellen Zelle;
  • die Fahrtrichtung nach rechts oder links;
  • der Staat, zu dem Stellung der Maschine.

Maschine beginnt mit jeder Zelle eines komplett leeren Band; Dann durchläuft es den Übergang Amt, bis schließlich das Aus-Zustand zu erreichen. Wenn und nur wenn die Maschine stoppt, die Anzahl der 1en dann auf dem Band vorhanden heißt die Punktzahl der Maschine.

Die geschäftige Biber Spiel ist zu finden, für eine bestimmte Anzahl n, die Turing-Maschine mit der Höchstpunktzahl. Dies ist der Biber eifrig n Zustände.

Busy Beaver Funktion Σ

Definition

Die Funktion des geschäftigen Biber Σ: N → N ist definiert als Σ ist die maximale Punktzahl unter allen Maschinen Turing n 2 Symbole und Zustände entsprechen den in der vorstehenden Randnummer genannten Angaben, wenn sie auf ein leeres Band zu starten.

Σ ist eine gut definierte Funktion: für jedes n gibt es eine endliche Anzahl von Turing-Maschinen und n definierten Zuständen, bis auf Isomorphie und damit eine endliche Anzahl von möglichen Ausführungszeit.

Der Wert einer Turing-Maschine M wird angemerkt, σ, keine Turing-Maschine-Symbole und 2 n Zustände, für die & sgr; = Σ ist ein viel beschäftigter Biber genannt. Für ein gegebenes n ist der geschäftigen Biber nicht eindeutig: Es gibt mindestens zwei; wenn M ist ein viel beschäftigter Biber, die Richtung der Bewegung des Bandes während eines Übergangs in den Stoppzustand, eine andere beschäftigt Biber haben ganz einfach ändern.

Unabsehbarkeit

In seinem 1962 Artikel, zeigt Tibor Radó, dass wenn f: N → N berechenbar ist, dann Σ & gt; f für alle n hinreichend groß ist. Σ keine berechenbare Funktion.

Dies impliziert, dass es unentscheidbaren durch einen allgemeinen Algorithmus, um festzustellen, ob eine beliebige Turing Maschine ein Besetztbiber: ein solcher Algorithmus nicht existieren kann, weil sein Vorhandensein würde Σ errechnen zu können, was unmöglich ist.

Obwohl Σ ist unberechenbar Funktion ist es möglich, um seinen Wert für kleine Werte von n zu bestimmen. Es kann leicht gezeigt werden, dass & Sgr; = 0, Σ Σ = = 1 und 4 und mit mehr Schwierigkeiten als Σ Σ = = 6 und 13 ist zu Σ n & gt unbekannt; 4, wobei die untere Grenze sind etabliert.

Maximale Anzahl von Schritten

Zusätzlich zu der Funktion Σ, Tibor Radó eingeführt entsprechend der maximalen Anzahl von Schritten S. Für Turingmaschine M in allen Turing Maschinen 2 n Zustände und Symbole oben definiert ist, s die Anzahl von Verschiebungen M Band, das vor dem Anhalten läuft. S ist dann die maximale Anzahl von Offsets In: S: n ↦ max {S | ∈En M}. Diese Turingmaschinen Verschieben das Band bei jedem Übergang oder "nein" ist, ist auch die maximale Anzahl von Schritten diese maximale Anzahl von Offsets.

Tibor Radó zeigten, dass S nicht in der gleichen Weise berechnet werden, daß Σ nicht: es wächst schneller als jede berechenbare Funktion. Er stellt fest, dass für alle n, S ≥ Σ, da ein Schaltvorgang erforderlich ist, um eine 1 auf das Band zu schreiben. S daher wächst die mindestens so schnell wie Σ, die bereits wächst schneller als jede berechenbare Funktion.

Die folgenden Ungleichungen gelten für alle n ≥ 1:

  • S ≥ Σ
  • S ≤.Σ
  • S & lt; Σ
  • Es gibt eine Konstante c, so dass für alle n ≥ 2, S ≤ Σ (n + | 8 n / log | + c).

Beispiele

1-Status

Wenn die Maschine nur einen Zustand entspricht der geschäftigen Biber auf die folgende Übergangstabelle:

Beginnend mit einem leeren Band liest diese Maschine zuerst das Symbol 0: sie schreibt daher das Symbol 1, bewegt sich das Band nach rechts und stoppen. Auf diese Weise erhaltene S = 1 und Σ = 1.

Das Ergebnis das gleiche wäre, wenn das Band wurde anstatt von rechts nach links bewegt. Wenn das Gerät bleibt im Zustand A nach dem Bewegen des Bandes, sie den gleichen Prozess zu beginnen und würde nie aufhören. In allen Fällen wird der Wert der Übergangstabelle für das Symbol 1 ist nicht wichtig, eine solche Maschine nicht in der Lage der Landung auf eine Zelle, die dieses Zeichen.

2-Staaten

Für eine Maschine mit zwei Zuständen entspricht der geschäftigen Biber auf die folgende Übergangstabelle:

Das Gerät stoppt nach 6 nicht mit 1. April auf dem Band geschrieben: S = Σ = 6 und 4.

Die folgende Tabelle zeigt Details seiner Operationen, beginnend mit einem leeren Band und einem Ausgangszustand A:

Die Spalte "Ribbon" zeigt den Zustand des Bandes nach einer Operation; der Charakter, die gerade in Fettschrift geschrieben worden ist, ist derjenige, an dem der Lesekopf der Maschine ist unterstrichen.

Die Fahrtrichtung der letzten Operation keine Rolle, die Maschine zu stoppen sowieso.

Wenn alle Richtungen wurden in der Übergangstabelle umgekehrt, erhalten wir auch einen geschäftigen Biber, die Maschine verhält sich genau Spiegelung oben beschrieben.

Diese Maschine ist sehr einfach und wurde bereits von Tibor Radó in seinem ursprünglichen 1962 Artikel beschrieben.

3 Zustände

Für eine Maschine mit drei Zuständen, die damit beschäftigt Biber Produktion von über 1 entspricht der folgenden Übergangstabelle:

Diese Maschine stoppt nach 14 nicht mit 6 1 des Bandes.

Im Gegensatz zu dem Fall mit zwei Zuständen ist diese Maschine nicht eine, die nach der größten Anzahl von Schritten beendet. Es ist eine andere, die besetzt ist Biber Herstellung mehrere Schritte, produziert aber weniger als 1:

Diese Maschine stoppt nach 21 nicht mit 5 1 des Bandes.

Wir erhalten so S = Σ = 21 und 6, jedoch für zwei verschiedene Turingmaschinen. Dieses Ergebnis wird durch Tibor Radó im Jahr 1962 beschrieben.

4 Zustände

Für eine Maschine mit vier Staaten entspricht die geschäftigen Biber auf die folgende Übergangstabelle:

Das Gerät stoppt nach 107 mit 13 no 1 auf dem Band. Diese sind nicht konsekutiv, ist wie folgt: der Endzustand des Bandes:

5 Zustände

5 Zustände sind besetzt Biber nicht bekannt. Für fünf Staaten, ist wie folgt zu den aktivsten Maschine:

Diese Maschine produziert 4098 1 47176870 nicht. 1 nicht aufeinanderfolgend sind: 8191 0 eingesetzt sind. Entdeckt im Jahr 1989, ist es unklar, ob es sich beschäftigt Biber für diese Klasse der Maschine Turing: im Jahr 2003, blieb 43 Maschinen dieses Typs, die unbefristete Ausführung sein kann, wurde nicht bewiesen.

6 Zustände

6 Staaten, ist wie folgt zu den aktivsten Maschine:

Diese Maschine produziert etwa 3,515 x 10 7,412 × 1 etwa 10 Schritte. Es wurde im Juni 2010 entdeckt.

Verallgemeinerung

Es ist möglich, das Problem zu Turing Maschinen mit n Zuständen und m Symbolen verallgemeinern, was zu den folgenden verallgemeinerten Funktionen:

  • Σ: die maximale Anzahl von Symbolen als 0-Einträge von Maschinenzuständen n und m Symbolen;
  • S: die maximale Anzahl von Schritten durch ein Maschinenzustände n und m Symbolen entnommen.

Mit 2-Staaten und 3 Symbolen ist der Biber beschäftigt diese Maschine, die nach 38 Schritten zu stoppen wird, das Band mit 9 Symbole "2":

Mit 3 Staaten und 3 Symbolen, stoppt der bekanntesten aktiven Maschine nach 119 112 334 170 342 540 nicht, seine Band enthält 374 676 383 Kopien des gleichen Symbols. Es ist unklar, ob dies der geschäftigen Biber für diese Kombination von Zuständen und Symbolen.

Bekannte Werte

Die Werte Σ und S sind nur für n & lt bekannt; 5. Für alle anderen sind dafür bekannt, im besten Fall nur untere Grenzen.

Im Jahr 1964 Milton Grün baute eine Reihe von Maschinen Drehen zeigen, dass für k ≥ 2:

wobei die Notation Knuth Pfeile und A die Ackermann-Funktion.

So:

Und:

wobei g1 ist die große anfängliche Wert des Ergebnisses gibt die Anzahl der Graham.

Die folgenden Tabellen zeigen die genauen Werte und untere Schranken für S und Σ für n und m ≤ 6. Die Einträge "? "Größer als die maximale Eingangs auf ihrer linken und darüber: sie wurden nicht untersucht oder durch kleinere Maschinen übertroffen.

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