Church-Turing-These

Kirche Arbeit - nach dem Mathematiker Alonzo Church benannt - eine These über die Bestimmung des Begriffs der Berechenbarkeit.

In einer Form, als "physische", sagt sie, dass die physikalischen Begriff der Berechenbarkeit, durch eine physikalische oder mechanische Verfahren, wie jeden machbar systematische Behandlung definiert sind, können durch eine Reihe von Design-Regeln ausgedrückt werden, in vielerlei Hinsicht definiert war nachweisen können, dass sie mathematisch äquivalent sind.

In seiner Form als "psychologische", behauptet er, dass die intuitive Begriff der Berechenbarkeit, die im Zusammenhang mit ist das, was ein Mensch so effektiv berechenbare oder nicht versteht, kann auch durch die gleichen Sätze von formalen Rechenregeln ausgedrückt werden.

Stephen Kleene nannte die erste "Kirchenarbeit", dass letztere als eine Definition der effektiven Berechenbarkeit vorgestellt. Es ist auch unter der neuesten von einigen Experten in den 1990er Jahren Obwohl Kirche ist sicherlich das erste in den frühen 1930er Jahren vorgeschlagenen Namen Arbeit Church-Turing, Terminologie bekannt ist, zu denken, formell definieren intuitive Berechenbarkeit ist jedoch die Artikel Alan Turing 1936 und seiner mechanischen Modell der Berechenbarkeit, die auf jeden Fall gewonnen haben, die Unterstützung nach Gödel, Kleene und Kirche selbst.

Formulierung der These

Die Arbeit ist mit den Worten, dass die formale Berechnungsregeln der Begriff der effektiven Methode der Berechnung richtig zu formalisieren formuliert.

Es wird allgemein angenommen, dass eine wirksame Methode zur Berechnung sind folgende Pflichten:

  • der Algorithmus ist eine endliche Menge von einfachen und genauen Anweisungen, die mit einer begrenzten Anzahl von Symbolen beschrieben sind;
  • der Algorithmus stets erzeugen das Ergebnis in einer endlichen Anzahl von Schritten;
  • der Algorithmus kann im Prinzip von einem Menschen mit nur Papier und Bleistift folgen;
  • die Ausführung des Algorithmus erfordert keine Intelligenz des menschlichen außer daß die notwendig ist, um die Anweisungen zu verstehen und auszuführen.

Ein Beispiel eines solchen Verfahrens ist der euklidische Algorithmus, um den größten gemeinsamen Teiler von ganzen Zahlen oder eine, die eine ganze Zahl n auf der Länge der Sequenz, die Good n beginnt bestimmt bestimmen.

Dies ist eine ziemlich klare intuitive Definition, aber nicht eine formale Definition, nicht mit spezifizierten, was mit "einfache und präzise Anweisung" oder "das, um die Befehle auszuführen erforderlichen Intelligenz" bedeutete, . Man kann jedoch formal zu definieren, was ein Algorithmus und warum gibt es eine Wahl zwischen verschiedenen Formalismen. An dieser Stelle behauptet Kirche These, dass die beiden Konzepte, intuitive "effektive Methode", und formale, konsistent, die eine strenge Definition des Begriffes der Berechenbarkeit.

In der Tat, in den frühen zwanzigsten Jahrhunderts, waren die Mathematiker mit informellen Ausdrücke als tatsächlich verwertbar. Daher war es wichtig, eine strenge Formalisierung des Konzepts zu finden. Seit den 1940er Jahren verwenden Mathematiker dank der Kirchenarbeit ein gut definiertes Konzept, dass der berechenbare Funktion.

Die Theorie wurde zum ersten Mal für die Lambda-Kalkül formuliert, aber andere Formalismen wurden vorgeschlagen, um berechenbare Funktionen, wie rekursive Funktionen, Turing-Maschinen, die Kleinmaschinen und-Meter-Maschinen zu modellieren. Die größte Überraschung ist wahrscheinlich die von Yuri Matiyasevich vorgeschlagene Lösung Hilberts zehntes Problem. Es kann gezeigt werden, dass all diese Definitionen, wenngleich auf ganz andere Ideen basiert, die gleiche Menge von Funktionen genau beschreiben. Diese Systeme, die die gleiche Ausdruckskraft, als eine dieser äquivalente Definitionen werden als Turing-äquivalent oder Turing-vollständig.

Die Tatsache, dass alle diese Versuche zu formalisieren das Konzept des Algorithmus haben zu gleichwertigen Ergebnissen geführt ist das Argument, dass die These von der unvermeidlichen Kirche macht.

Kirchenarbeit und Quanten-Computing

Die verschiedenen Modelle der Berechnung, rein rechnerisch, entwickelt, um die Berechenbarkeit modellieren a priori unabhängig von der Physik und der physikalischen Prozesse. Auch ist es nicht von vornherein klar, dass die "physische" Version der Kirche Arbeit beschäftigt sich mit abstrakten Mustern verifiziert. Darüber hinaus ist die nächstgelegene Modell eines physikalischen Mechanismus enthält impliziten Annahmen, die von der klassischen Physik inspiriert sind.

Im Jahr 1982, der Physiker Richard Feynman wurde gefragt, ob die Berechnungsmodelle könnten die Entwicklung der Quantenprozesse zu berechnen. Er schaffte es, zu zeigen, dass es möglich war, aber ineffizient, nicht praktikabel. Aber die Natur ist offenbar in der Lage, "rechnen" dieser Entwicklung wirksam. Stellt sich die Frage, ob die unvermeidlichen Quantenprozesse werden zu einer anderen Form der Berechenbarkeit bezogen, und wenn sie das Fitness-Kirche-Arbeit in Frage zu stellen.

Um diese Frage zu untersuchen, ist es notwendig, ein Modell der Berechnung unter Berücksichtigung der Eigenheiten der Quantenmechanik zu entwickeln und in der Lage ist die Berechnung der Quantenprozesse effektiv. Mit diesem mathematischen Modell bewaffnet, können wir dann studieren ihre Beziehungen zu traditionellen Computing-Modelle, im Hinblick auf die Berechenbarkeit, Universalität und Komplexität.

Die ersten Versuche, Modelle der Quantencomputer zu erstellen fand Anfang 1980 von Paul Benioff. Es war ein Modell der reversible Turing-Maschine, unter Berücksichtigung einer der wichtigsten Merkmal der Quantenmechanik: Unitarität impliziert, dass Quantenberechnungen muss reversibel sein. Das heißt, zu wissen, ein Ergebnis der Operation und der Serie Vorfeld es kann ein Quantencomputer immer zurückgehalten, um die Ausgangsdaten zu finden ist. Aber es fehlte noch die Zutaten, um ein Modell der Quantencomputer zu erreichen: auch wenn Berechnungen mit Quantensuperposition Zustände der Bits in jeder Stufe der Berechnung waren in einem klassischen '0' oder '1'.

Im Jahr 1985, bietet David Deutsch ein Modell des Quanten-Computing, als die erste echte Modell der Quantenturingmaschine erfasst. In diesem Artikel Deutsch stellt fest, dass Quantencomputer sind in der Lage, ein Ergebnis, dass die klassische Turingmaschinen nicht selbst herstellen kann: Erzeugen einer reinen Zufallszahl. Aber das bedeutet nicht die These von der Kirche in Frage zu stellen, da die Erzeugung einer Zufallszahl ist nicht Teil von dem, was als "Berechnung".

Das Rechenmodell wurde gezeigt, dass die Quanten-Turingmaschinen nicht erlauben, mehr Probleme als klassischen Turing-Maschinen zu berechnen. Sie sind sogar von einem bestimmten Standpunkt aus weniger vollständig als herkömmliche Turing-Maschinen, weil, wenn Sie verwenden, um die Quantenparallelität schneller berechnen einige gemeinsame Eigenschaften zwischen m binäre Werte wollen, dann es wurde 1991 von Richard gezeigt Jozsa, dass nur Objekte unter möglichen gemeinsamen Eigenschaften waren berechenbar auf diese Weise, so sind sie alle mit einer Turing-Maschine Vektor.

Geschichte

In seinem Artikel von 1943 Prädikate und Quantoren rekursive Stephen Kleene Vorschlag für die erste These Erklärung der Kirche er "THESIS I":

 Wird die gleiche These implizit in der Beschreibung der Turingmaschinen.

 Kleene im unentscheidbar, p. 274

Anmerkung 22 Kleene bezieht sich auf die Kirche von Artikel 23, während das Rating bezieht sich auf den Artikel von Alan Turing. Er fährt fort mit der Feststellung, dass

 Er bezieht sich auf den Artikel von Post und die formalen Definitionen in Artikel Kirche formale Definitionen in der Theorie der Ordnungszahlen, Fonds. Math. Flug. 28 pp.11-21.

In seinem Artikel von 1936 "Über berechenbare Zahlen mit einer Anwendung Entscheidungsproblem" Turing formalisiert den Begriff des Algorithmus, die Einführung der heute als Turingmaschinen. In diesem Artikel schreibt er vor allem auf Seite 239:

 Dies ist die Version von Turing-These Kirche, hat er nicht zu der Zeit kennen.

Kirche hatte auch ein paar Monate vor der Insolvenz des Entscheidungsproblems in "einer Note auf der Entscheidungsproblem" zu, dass er die rekursive Funktionen und λ definierbare Funktionen benutzt hatte, um formal zu beschreiben den effektiven Berechenbarkeit bewiesen. Die λ definierbare Funktionen wurde von Alonzo Church und Stephen Kleene und rekursive Funktionen eingeführt wurden von Kurt Gödel und Jacques Herbrand eingeführt. Diese beiden Formalismen beschreiben die gleiche Reihe von Funktionen, wie im Fall der Funktionen auf die positiven ganzen Zahlen von Church und Kleene nachgewiesen. Nach etwa dem Vorschlag der Kirche zu hören, war Turing Lage, schnell zu skizzieren eine Demonstration, die seine Turing-Maschinen in der Tat beschreiben die gleiche Menge von Funktionen. In einem Artikel im Jahr 1937 veröffentlichte Studie zeigt die Gleichwertigkeit der drei Modelle: λ definierbare Funktionen, Turing-Maschinen und allgemeine rekursive Funktionen im Sinne von Herbrand und Gödel. Rosser fasst die Gefühle der Protagonisten: "Sobald der Gleichwertigkeit der allgemeinen Rekursion und λ-Definierbarkeit hergestellt, Kirche, Kleene und ich erwarten, dass Gödel Sie mit uns, um die These von der Kirche zu unterstützen. Gödel hatte immer noch Vorbehalte, aber, und es mindestens zwei oder drei Jahre später, nach der Arbeit von Turing, Gödel, die schließlich wurde ein Anhänger. "

Turing schrieb im Jahr 1937: "Die Identifikation der Funktion 'effektiv berechenbar' mit berechenbaren Funktionen ist vielleicht zwingender als die Identifizierung mit den λ definierbare Funktionen oder allgemeine rekursive. Für diejenigen, die diese Ansicht übernehmen, formale Nachweis der Gleichwertigkeit stellt eine Begründung der Berechnung der Kirche und verwendet, um die "Maschine", die berechenbaren Funktionen von λ-Definitionen, die bequemer sind erzeugen ersetzen. "

Funktionen, die nicht berechenbaren Zahlen

Kann sehr formell Funktionen, die nicht kalkulierbar sind, zu definieren. Sie sind in der Regel so groß, Werte, die nicht berechnet werden können und daher auch nicht "Express" die Werte, die sie nehmen, denn es ist ihre Definition sagt. Der bekannteste ist der geschäftige Biber genannt. Der Einfachheit halber ist es die Größe der größten Arbeit, wenn man ihnen eine begrenzte Ressource, die von n eine Turing-Maschine machen können. Als Definition wird als Grenze des könnte Turingmaschinen werden erhalten, kann die Anzahl dessen Anwendung nicht berechnet werden kann, noch die genaue Wert ausgedrückt, höchstens sie Forscher geben Nummern ist geringer für kleinere Werte von n.

Die Anzahl der Chaitin Omega eine reelle Zahl ist perfekt definierte ist nicht berechenbar, gerade weil seine Konstruktion ist abhängig von den Antworten auf die semi-entscheidbar Problem stoppen Turingmaschinen.

Andere Berechnungsmodelle

Es ist nicht Berechnungsmodell stärker als Turing-Maschinen, die sagen, dass der Lage wäre, durch eine Turing-Maschine berechnet nicht berechenbar oder sogar schneller berechenbaren Funktionen zu berechnen, ist bekannt. Die physikalische Kirche Arbeit könnte durch die hypercomputation in Frage gestellt werden, aber die physikalischen Prozesse durch die hypercomputation verwendet werden, sind äußerst spekulativ und wahrscheinlich nie unmöglich, in die Praxis umzusetzen.

Umgekehrt gibt es geringeren Rechenmodelle, die Turing-Maschinen. Jede allgemeine Berechnungssystem nicht erreicht das Konzept der Kirche und Turing-Berechenbarkeit. Beispielsweise schwächt ein bisschen definieren rekursiven Funktionen, ein Computersystem, das als allgemeine erscheint, und die effektiv setzt eine Reihe von gemeinsamen Funktionen, sondern erhält man, wenn bestimmte Funktionen sind nicht kalkulierbar, wie sie mit sich Turing-Maschinen oder Lambda-Kalkül. Das System in Frage ist nicht gleichbedeutend mit Turingmaschinen.

Ein Beispiel für eine nicht-berechenbare Funktion in diesem System, wenn er durch eine berechenbare Turingmaschine ist, der von dem bekannten zunehmende Funktion als Ackermann-Funktion bekannt und rekursiv definiert wie folgt:

Diese Funktion erhöht schnell. B. a eine Zahl von 19729 Zählungen.

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