Divisionsalgebra

In der Mathematik, insbesondere in der Algebra ist eine Algebra eine Divisionsalgebra über ein Feld. Jedoch wird in einem Divisionsalgebra der Multiplikation nicht kommutativ noch assoziativ sein.

Ein Ring Division oder verließ den Körper, wie Quaternionen ist assoziativ Divisionsalgebra über die Mitte oder ein Teilgebiet davon.

Definition

Sei A eine einheitliche Ring sein.

0A Das Element ist nicht reversibel, wenn A gleich Null ist.

Wenn A nicht Null ist und wenn eine andere Einstellung als 0A umkehrbar ist, sagen wir, dass es sich um ein assoziatives Divisionsalgebra.

Wenn darüber hinaus der Ring kommutativ ist, sagen sie, es ist eine kommutative und wenn nicht Körper, ein Körper verließ.

Ring Division gegen Divisionsalgebra

Wir treffen manchmal den Begriff Ringteilung, anstatt den Begriff assoziativ Divisionsalgebra.

Ist K ein Feld namens assoziative Algebra über K, einen Satz mit drei traditionell bewertet Operationen wie:

  •  ist ein Ring,
  •  ist ein Vektorraum über K
  • Für alle und alles.

Wenn ein Ring ist, werden alle Elemente, die mit allen Elementen ein pendeln genannten Mittelpunkt und es ist leicht zu sehen, daß diese selbst ein Ring, aber kommutative, obgleich nicht .

Dementsprechend, wenn eine Nicht-Null-Element hat eine inverse ist mittig eine Feld K und somit von Natur aus mit einem K-Vektorraumstruktur und damit eine K-Algebra Struktur versehen.

Die Bilanz: ein Unternehmensbereich Ring ist ein assoziatives Divisionsalgebra. Die Umkehrung ist trivial.

Englisch

In englischsprachigen Ländern, in der Regel bezieht sich der Begriff, einen Körper zu Feld und wird gesagt, assoziativen Divisionsalgebra, Ringteilung oder Schiefkörper, wenn die Multiplikation ist nicht kommutativ.

Beispiele

Algebra ℍ Quaternionen und zu Ehren von ihrem Entdecker William Rowan Hamilton aufgezeichnet wird, ist assoziativ und nicht-kommutative Division.

Der Divisionsalgebra von Oktaven ist nicht assoziativ, aber einzige Alternative. Diese Struktur wurde von Arthur Cayley im Jahre 1843 entdeckt.

Alle assoziativen Divisionsalgebra mit einer endlichen Anzahl von Elementen kommutativ ist: der Satz Wedderburn.

Assoziative Algebra der Endomorphismen eines einfachen Moduls über einem Ring Division: es ist eine Folge der Schur Lemma. Es ist nicht kommutativ im Allgemeinen.

Algebren endlicher Dimension Division auf ℝ

Der Körper ℝ real, ℂ der Komplex, ℍ die Algebra der Quaternionen und der von ℝ Oktaven sind die einzigen Alternativen zu Teilung-Algebra der endlichen Dimension. Wenn wir nicht mehr auferlegt alternativité, gibt es unzählige andere, aber die einzig möglichen Abmessungen sind 1, 2, 4 und 8 Dies ist eine schwierige Satz aus dem Jahr 1958, aber es ist elementar zeigen, dass das nur ungerade Dimension 1. In der Tat, wenn A ein Divisionsalgebra ℝ-ungerade Dimension n, zu prüfen, für jede Komponente, Anwendung

Das ist linear Distributivität der Multiplikation.

Das charakteristische Polynom ist dann ein Polynom vom Grad n ist, und somit hat eine Wurzel, da n ungerade ist.

Seit Wert ist ein sauberes, so gibt es nicht Null, wie das heißt. Wie und A Division, kann durch vereinfacht werden und erhalten, wobei 1 die neutrale Element der Multiplikation des Divisionsalgebra.

Schließlich wurde gezeigt, daß jedes Element kolinear 1: und A eine Vektorlinie, also der Größe 1.

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