Exponential

Einer exponentiellen Modellen das Leben eines Phänomens ohne Speicher oder keine Alterung, keine Abnutzung oder die Wahrscheinlichkeit, dass das Phänomen dauert mindestens s + t Stunden zu wissen, dass er bereits dauerte Stunden wird die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit s bis Stunden aus seiner Anfangseinstellung Funktion dauern. Mit anderen Worten bedeutet die Tatsache, daß das Phänomen dauerte Stunden keine Lebenserwartung von der Zeit t ändern.

Formal zu X ist eine Zufallsvariable, die die Lebensdauer eines Phänomens mathematische Erwartung definiert. Es wird angenommen, dass:

Dann X ist die durch definierte Wahrscheinlichkeitsdichte:

  •  wenn t & lt; 0
  •  für alle t ≥ 0.

und wir sagen, dass X eine exponentielle Verteilungsparameter. Umgekehrt ist eine Zufallsvariable mit diesem Gesetz erfüllt die Eigenschaft, ohne Erinnerung sein.

Dieses Gesetz ermöglicht unter anderem die Lebensdauer der Radioaktivität oder einer elektronischen Komponente zu modellieren. Es kann auch verwendet werden, um zu beschreiben beispielsweise die Zeit zwischen zwei im Büro empfangene Telefonanrufe oder der Zeit zwischen zwei Autounfällen, bei denen ein bestimmtes Individuum beteiligt ist.

Definition

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung des Parameters λ & gt; 0 hat die Form:

Das Verteilungsmedium für das Intervall.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist gegeben durch:

Erwartung, Varianz, Standardabweichung, Median

Wenn X eine Zufallsvariable, die eine exponentielle Verteilung mit dem Parameter λ folgt.

Wir wissen, durch die Konstruktion, daß der erwartete Wert von X ist.

Varianz wird durch Integration von Teilen, berechnet; erhalten wird.

Die Standardabweichung ist.

Der Median, das heißt, die Zeit T, wie ist.

Vorführungen

Die Tatsache, dass die Haltbarkeit kann keine Alterung ist in der folgenden Gleichung zum Ausdruck:

Für Bayes-Theorem, haben wir:

Indem er die Wahrscheinlichkeit, dass die Dauer des Lebens größer als t ist, so finden wir:

Da die Funktion G ist monoton und beschränkt ist, bedeutet diese Gleichung, daß G eine Exponentialfunktion. Es besteht daher echte k, so dass für alle t:

Man beachte, daß k negativ ist, da G ist kleiner als 1. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f definiert ist, für alle t ≥ 0 ist, nach:

Berechnung der Erwartung von X, was zu der Gleichung gelten muss:

Das Integral wird durch die Integration von Teilen, berechnet; werden erhalten:

Deshalb

und

Wichtige Eigenschaften

Kein Memory-

Eine wichtige Eigenschaft der Exponentialverteilung ist der Verlust des Gedächtnisses oder ohne Erinnerung. Diese Eigenschaft wird mathematisch durch die folgende Gleichung umgerechnet:

Angenommen, T ist die Lebensdauer einer LED-Lampe, bevor es bricht: Die Wahrscheinlichkeit, dass es wenigstens s dauert + t Stunden wissen, daß sie bereits t Stunden dauerte wird die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit sein, s bis Stunden aus seiner Anfangseinstellung Funktion dauern. Mit anderen Worten bedeutet die Tatsache, dass es nicht nach unten für Stunden fallen nicht die Lebenserwartung von der Zeit t ändern. Es sollte angemerkt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine "konventionelle" Lampendefekt nicht exponentialverteilt als erste Näherung, da das Filament verdampft während der Verwendung und Alter.

Summe

Wenn der Zufallsvariablen X, Y unabhängig und folgen Exponentialverteilungen beide Parameter λ, μ, dann Z = inf eine Zufallsvariable, die die Exponentialverteilung mit Parameter λ + μ folgt.

Umfang

Radioaktivität

Einer privilegierten Gegend von exponentiellen Gesetz ist das Gebiet der Radioaktivität. Jedes radioaktives Atom hat eine Lebensdauer, die exponentiell verteilt ist. Der Parameter λ wird dann die Zerfallskonstante bezeichnet.

Die durchschnittliche Lebensdauer ist die charakteristische Zeit genannt.

Das Gesetz der großen Zahlen können sagen, die Konzentration von radioaktiven Atomen wird das gleiche Recht zu folgen. Der Median ist die Zeit T, für die Population benötigt erhöht, um 50% ihrer Anfangspopulation und heißt Halbwertszeit.

Elektronik und Warteschlangen

Wie häufig die Lebensdauer einer elektronischen Komponente durch eine exponentielle Verteilung modelliert. Die Summe permert Eigenschaft, um die Lebenserwartung eines Systems aus zwei Komponenten in der Reihe zu bestimmen.

In der Theorie von Warteschlangen, die Ankunft von Kunden in einer Warteschlange wird oft von einem exponentiellen Gesetz in dem Modell der Warteschlange M / M / 1 modelliert, zum Beispiel.

Verhältnis zu anderen Gesetzen

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Version der Exponentialfunktion. Dementsprechend ist das Exponentialgesetz ein Grenzwert der geometrischen Gesetze renormiert.

Wenn Sach folgt dem exponentiellen einem der Hoffnung, und wenn dann folgt die geometrische Verteilung Parameter

Demonstration

Beachten Sie, dass für eine reelle Zahl bezeichnet die von definierten oberen ganzzahligen Teil

Auswählen

und wird von einer exponentiellen Zufallsvariable mit dem Parameter, eine Zufallsvariable hergestellt

.

ein geometrisches Gesetz der willkürlichen Parameter folgt, weil dann eine exponentielle Verteilung mit dem Parameter 1.

Umgekehrt

Eigenschaft Wenn für die Zufallsvariable folgt dem geometrischen Verteilungsparameter, und wenn

konvergiert in Verteilung der exponentiellen Verteilungsparameter

Demonstration

Man gibt eine exponentielle Zufallsvariable mit dem Parameter 1 und platziert

Dann und sogar Recht im Rahmen des vorangegangenen Ownership. Außerdem für alle

Aber zum einen die fast sichere Konvergenz führt zu der Verteilung Konvergenz, das andere ist das Gesetz der exponentiellen Verteilungsparameter

Man kann die verschiedenen Konvergenzen als einfache Folge der Konvergenz der Bernoulli-Schema in der Poisson-Prozess zu sehen.

Weibull-Verteilung

Die Exponentialverteilung ist eine Weibull-Verteilung mit einem Formfaktor k 1.

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