Normale Recht

Theoreme und Lemmata manchmal Gauss Gauss Gesetze genannt, andere Gesetze der Laplace oder anderen Sinne des Wortes Normal: Nicht zu verwechseln mit.

In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, ist die Normalverteilung eine der am besten geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Naturphänomene von mehreren Modellieren zufälliger Ereignisse. Es wird von vielen mathematischen Objekten verknüpft, dass die Brownsche Bewegung, Gaußsche weiße Rauschen oder andere Gesetze der Wahrscheinlichkeit. Es wird auch als Gauß-Verteilung, Gauß- oder Laplace-Gauß-Gesetz die Namen der Laplace und Gauß, zwei Mathematiker, Astronomen und Physiker, die sie studiert haben.

Formal ist es ein Gesetz der absolut stetig Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Parametern abhängig: ihre Hoffnung, eine reelle Zahl angegeben, und ihre Standardabweichung, stellte eine positive reelle Zahl. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung ist gegeben durch:

Die Kurve dieser Dichte wird als Gaußsches oder glockenförmige Kurve, unter anderem. Das ist die bekannte Darstellung dieses Gesetzes. Die Normalverteilung mit Mittelwert Null und Varianz Typ wird als Standard-Normal- oder Standardnormalverteilung.

Wenn eine Zufallsvariable nach der Normalverteilung ist es Gaußsche oder normal aufgerufen und es üblich, die Schreibweise mit der Varianz zu verwenden ist:

Unter den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit, dauert es ein besonderer Ort, dank der zentralen Grenzwertsatz. Tatsächlich entspricht es dem Verhalten unter bestimmten Bedingungen von einer Reihe von ähnlichen und unabhängige Zufalls Experimenten, bei denen die Anzahl der Versuche ist sehr hoch. Aufgrund dieser Eigenschaft kann der normale Gesetz andere Gesetze zu nähern und so viele wissenschaftliche Studien als Messfehler oder statistische Tests Modell beispielsweise die Tabellen der Normalverteilung.

Informelle Definition und Erläuterungen

Die Gesetze der Wahrscheinlichkeit kann theoretisch beschreiben die Zufälligkeit einer Erfahrung, die als zufällig ist. Die Normalverteilung ist ein Sonderfall. Der historische Weg, um es zu nähern, ist näherungsweise.

Wenn das Ergebnis dieser Zufallsexperiment ist diskrete Werte, zum Beispiel die Summe wirft zwei Würfel 2, 3 ... oder 12, ein Gesetz genannte diskrete Modelle die Erfahrung. Die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens jedes Wertes kann durch Balkendiagramme oder Histogramme dargestellt werden. Eine Frage, die mehrere Wissenschaftler entstanden ist, eine Menge Erfahrung durchführen und Interesse an dem Verhalten der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es scheint, dass das Auftreten eines der möglichen Werte der Frequenzen zunehmend "geglättet". Es gibt eine bestimmte Verteilung um einen zentralen Wert kann diese Wahrscheinlichkeiten dann durch das bekannte Gauß-Glockenkurve oder durch Berechnung oder durch Experiment erhalten repräsentiert werden. Diese Kurve ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung, das heißt, 1 ist die Fläche unter der Kurve Die zentrale Rolle dieses Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, weil es die Grenze von einer großen Anzahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen in dem zentralen Grenzwertsatz gezeigt.

Ein weiteres visuell erscheinen diese Kurve ist das Galton-Brett. Kugeln auf dem Brett, jeder Etage fiel sie haben zwei Möglichkeiten: nach rechts oder nach links, nach der mehrstufigen darum hatten sie mehrere zufällige Wahl. Wenn die Anzahl der Perlen groß ist, ist die Verteilung der Kugeln entsprechend ihrer Position in etwa einer normalen Verteilung.

Somit Messungen an einer großen Population machte ergeben Werte, die nach einem Gesetz ähnlich der Normalverteilung verteilt sind, beispielsweise die Größe der adulten Weibchen einer bestimmten Population oder Gewicht Gemüseerbsensamen.

Die normale Gesetz wurde dann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, darunter mehrere äquivalente Definitionen existieren: die Wahrscheinlichkeitsdichte, Verteilungsfunktion, die charakteristische Funktion usw. Die Normalverteilung hängt von zwei Parametern: Der erste gibt die durchschnittliche, das heißt, den "zentralen" Wert der möglichen Werte zu sagen; der zweite Parameter liefert Informationen über die Streuung um diesen zentralen Wert, desto mehr wird dieser Parameter mehr niedrige Werte in der Nähe des zentralen Wert muss eine hohe Wahrscheinlichkeit erscheinen. Viele physikalische Parameter können durch diese beiden Parameter dargestellt werden.

Während der statistischen Analyse kann eine beobachtete Wert als zufällig und normal verteilt angesehen werden. Der Mittelwert der Normalverteilung wird dann als die "echten" Wert der beobachteten Wert, der Dispersion des Gesetzes dann Informationen über die "Fehler" der Beobachtung berücksichtigt. Das heißt, es ist möglich, einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit, dass eine gegebene Variable eine Normalverteilung in einem Intervall um den Mittelwert zu berechnen. Sie sind in der Lage, um eine Annäherung des Werts der Erfahrung unter Berücksichtigung Fehler aufgrund Instrumente und andere Maßnahmen beobachtet erhalten.

Geschichte

Der zentrale Grenzwertsatz, Pierre-Simon Laplace, Essay über die Philosophie der Wahrscheinlichkeit, 1840 6 Aufl., P. 90

Eine der ersten Erscheinungen des normalen Gesetz ist auf Abraham de Moivre im Jahre 1733 durch die Vertiefung der Untersuchung der Faktor in der Studie von einem Stapel oder Zahl. Er veröffentlichte die Lehre von Chancen im Jahre 1756, in der die Normalverteilung als Grenzwert einer Binomialverteilung, die die Quelle des zentralen Grenzwertsatz sein wird, wird angezeigt. 1777 Pierre-Simon Laplace dauert diese Arbeit und eine gute Annäherung an die Fehler zwischen der Normalverteilung und der Binomialverteilung mit der Gammafunktion von Euler. In seinem Buch im Jahr 1781 veröffentlicht wurde, gibt Laplace eine erste Tabelle des Gesetzes. Im Jahr 1809, Carl Friedrich Gauss assimiliert Beobachtungsfehler in der Astronomie zu der Kurve, bekannte Fehler, die Dichte der Normalverteilung.

Die Normalverteilung wird dann vollständig definiert, wenn der erste zentrale Grenzwertsatz, dann Laplace genannt, von Laplace im Jahre 1812 erklärte der Name "normal" wird von Henri Poincaré im späten neunzehnten Jahrhundert gegeben. Das Gesetz führt auch die Namen Gauss Gesetz oder Laplace-Gauß-Gesetz, nach dem der Urheberschaft von der Schaffung dieses Gesetzes; der Name des zweiten Hauptsatz der Laplace wird auch gelegentlich verwendet.

Die Normalverteilung ist immer ein Studium der Rechtswissenschaften. Zum Beispiel neue Zahlentabellen werden im Jahr 1948 von Egon Pearson 1952 vom National Bureau of Standards und 1958 von Greenwood und Hartley gegeben.

Standardnormal

Die Normalverteilung eindimensional Wahrscheinlichkeit. Das ist eine absolut kontinuierliche Recht, das heißt, dass die Maßnahme in Bezug auf Lebesguemaß absolut stetig ist. In anderen Worten, es gibt eine Wahrscheinlichkeitsdichte, die oft für die Standardnormalverteilung erwähnt, daß :. Es wird durch die multivariate Normalverteilung verallgemeinert. Die Standardnormalverteilung wird als Standardnormalverteilung.

Definition der Dichtefunktion

Die Standardnormalverteilung ist absolut kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Wahrscheinlichkeitsdichte wird durch die Funktion gegeben durch definiert:

Dieses Gesetz wird so genannt, weil seine zentrierte Zeitpunkt der Bestellung 0 und 1 ist, da der Zeitpunkt der Bestellung 2 reduziert ist 1. Die Grafik wird als Gaußsche Dichtefunktion, Gaußsche oder Glockenkurve. Dieses Gesetz ist mit dem ersten Buchstaben des "normalen", einer Zufallsvariablen X, die die Standardnormalverteilung folgt bezeichnet wird geschrieben:

Einige unmittelbare Rückmeldung und Eigenschaften:

  • Berechnen des Integrals Gauss zu zeigen, dass die Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte durch die Formel :;
  • die Dichte kontinuierlich und gleichmäßig beschränkten Paar;
  • das Maximum der Funktion wird im Durchschnitt erreicht, gleich 0 ist;
  • Die Funktion überprüft, :;
  • die Dichte ist unendlich differenzierbare eine mathematische Induktion ergibt die Formel: in der n-te Hermite-Polynom;
  • die Dichte hat zwei Wendepunkte 1 und -1. Dies sind die Punkte, an denen die zweite Ableitung Null ist und Veränderungen Zeichen. Die beiden Punkte sind ungefähr drei Fünftel der Gesamthöhe.

Definition durch die kumulative Verteilungsfunktion

Historisch gesehen hat die Normalverteilung als Grenzgesetz in dem zentralen Grenzwertsatz unter Verwendung der Verteilungsfunktion entstanden. Es ist sinnvoll, um das Gesetz von dieser Funktion zu definieren. Die Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Verteilungsfunktion wird durch die Funktion gegeben durch:

Es gibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Variable mit Normalverteilung ist in einem Intervall.

Einige unmittelbare Rückmeldung und Eigenschaften:

  • es gibt keinen analytischen Ausdruck der Verteilungsfunktion, die zu sagen ist, ist es nicht, sich von üblichen Funktionen zum Ausdruck bringen, aber selbst zu einer Standardfunktion;
  • es wird im Hinblick auf die Fehlerfunktion durch die folgenden zwei gleichwertige Formeln ausgedrückt:
    • .
    • ;
  • es differenzierbar ist unendlich oft und Schecks. Die äquivalente schriftlich definiert Lebesgue-Stieltjes Integral bezüglich der Normalverteilung;
  • es ist absolut stetig und streng monoton wachsend, so dass es eine Bijektion in. Ihre Inverse existiert und Probit-Funktion aufgerufen. Dies ist für die Probit-Modell verwendet wird;
  • Parität des Gesetzes, und so. Dies zeigt, dass der Medianwert der Standardnormal 0 ist;
  • per Definition der Verteilungsfunktion, wenn die Zufallsvariable X folgt der Standardnormal,. Die Werte dieser Wahrscheinlichkeit erhalten, ist es erforderlich, diese Funktion mit anderen üblichen Funktionen zu nähern und es Wertetabellen.

Definition der charakteristischen Funktion

Charakterisierung der Normalverteilung durch ihre charakteristische Funktion ist von Interesse, einige Eigenschaften wie Stabilität durch die Summe oder dem zentralen Grenzwertsatz demonstrieren. Die Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren charakteristische Funktion ist definiert durch:

Dieses charakteristische Merkmal ist gleich einer Konstante ist, die Wahrscheinlichkeitsdichte des Gesetzes. Es wird gesagt, dass die Charakteristik einer Gaußfunktion Gaußsche ist. Es hat "gute" Eigenschaften und hilft, zeigen einige Eigenschaften wie Stabilität, die durch Hinzufügung oder dem zentralen Grenzwertsatz.

Einige unmittelbare Rückmeldung und Eigenschaften:

  • die charakteristische Funktion der Normalverteilung von der Dichtefunktion durch die Gleichungen erzielt werden:
  • wenn eine Zufallsvariable X die oben definierte Standard-Normalverteilungsfunktion Merkmal hat, dann ist die lineare Transformation gibt charakteristische Funktion. So ist es eine normale Zufallsvariable mit Mittelwert und Varianz.

Definieren der Moment Erzeugungsfunktion

Ein anderer Weg, um eine Normalverteilung definiert ist durch den Einsatz von dem Moment erzeugenden Funktion. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Moment Erzeugungsfunktion wird durch definiert angegeben:

Sein Interesse ist, die Momente des normalen Gesetz zu berechnen.

Einige unmittelbare Rückmeldung und Eigenschaften:

  • der Moment erzeugende Funktion der Normalverteilung von der Dichtefunktion erhalten werden:
  • wenn eine Zufallsvariable X die Standardnormalverteilung des Augenblicks Erzeugungsfunktion oben definiert ist, dann ist die lineare Transformation gesteht Moment Erzeugungsfunktion. So ist es eine normale Zufallsvariable mit Mittelwert und Varianz.

Allgemeine normalen Recht

Definition

Mehr in der Regel die Standardnormalverteilung, die Normalverteilung ist absolut kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine der folgenden vier Punkte überprüft werden:

  • die Wahrscheinlichkeitsdichte wird durch die durch definierte Funktion angegeben:
  • die Verteilungsfunktion definiert ist durch gegeben durch:
  • die charakteristische Funktion ist definiert durch:
  • der Moment Erzeugungsfunktion ist definiert durch:

wo und.

Falls die Funktionen Dichte und Verteilung sind nicht definiert. Dieser Fall entspricht einer degenerierten Verhalten des normalen Gesetz, manchmal auch die unsachgemäße Normalverteilung. Das ist, wenn die Dirac-Messung an der Stelle.

Der Wert ist der Durchschnitt des Gesetzes und ist die Standardabweichung als die Varianz. Dieses Gesetz ist mit dem ersten Buchstaben des "normalen", einer Zufallsvariablen X, die der Standardnormalverteilung ist auf zwei verschiedene Arten nach Ansicht der Autoren aufgezeichnet folgt geschrieben:

Die zweite Schreibweise war in der Lage, das Interesse der Stabilität durch Zugabe von einfachen bemerken, wird es in diesem Artikel verwendet werden.

Hinweise sofortige und Eigenschaften

  • Wenn die Zufallsvariable X folgt einer Standardnormalverteilung, so ist die Zufallsvariable folgt einer Normalverteilung mit Mittelwert und Varianz. Umgekehrt, wenn Y normalverteilt ist, dann folgt eine Standardnormalverteilung. In anderen Worten, kann jede normale Verteilung durch Translation und Dilatation eines reduzierten zentrierten Gesetz erhalten werden.
  • Dichte symmetrisch um.
  • Das Maximum der Funktion und den Wert erreicht ist.
  • Die Abnahme in der Dichte auf der rechten und linken Seite ist surexponentielle.
  • Da die Normalverteilung ist absolut kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, ist das Ereignis, vernachlässigbar ist, das heißt, fast sicher auf eine Zufallsvariable X Normalverteilung sagen niemals gleich einem festen Wert ist. Dies entspricht rechnerisch.
  • Die Breite auf halber Höhe verhilft einen Amplitudenwert des Gesetzes. Ist die Breite der Kurve bei einer Höhe, die der Hälfte der Gesamthöhe beträgt. Diese Halbwertsbreite der Normalverteilung ist proportional zur Standardabweichung. Der Faktor 2 kommt von der Symmetrieeigenschaft der Normalverteilung.
  • Die Dichte besitzt zwei Wendepunkte und. Dies sind die Punkte, an denen die zweite Ableitung Null ist und Veränderungen Zeichen. Die beiden Punkte sind ungefähr drei Fünftel der Gesamthöhe.
  • Die normale Gesetz ist ein Gesetz der exponentiellen Familie, das heißt, dass seine Dichte wird geschrieben als: oder äquivalent wie bei ,, und.

Immobilien

Andere Charakterisierungen

Zusätzlich zu der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung in Abhängigkeit von der Kennlinienfunktion und dem Moment erzeugende Funktion, gibt es andere Charakterisierungen der Normalverteilung.

  • Charakterisierung durch Georges Darmois und Sergej Bernstein: Wenn zwei Zufallsvariablen sind unabhängig und identisch verteilt und wenn die beiden Zufallsvariablen unabhängig sind, dann ist das Gewohnheitsrecht und Naturgesetz.
  • Charakterisierung Charles Stein durch: das normale Gesetz ist das einzige Gesetz der Wahrscheinlichkeit, daß jeder Klasse Funktion C¹:

Moments

Der Moment ein Auftrag wird als Mittelwert und als ein Parameter in einer Normalverteilung. Der zweite Parameter ist die Standardabweichung, die auf die Quadratwurzel der Varianz, der als Durchschnitt der Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert definiert ist sagen. Es ist dann interessant, die zentrale Momente der Normalverteilung zu erhalten, werden sie durch:

und X für eine Zufallsvariable mit Normalverteilung. Der Moment der Ordnung n erhalten als Funktion der Momente der Auftrag kleiner als n zentriert werden, so dass der Moment der Ordnung n kann von Momenten der Auftrag kleiner als n-1 und zentrale Moment erhalten werden der Ordnung n. Die ersten Momente der Normalverteilung gibt, dann:

Dank der Symmetrie um die Normalverteilungsdichtefunktion, die zentralen Momente der ungerader Ordnung sind alle Null.

Die selbst-mal der Standard-Normalverteilung kann aus der Rekursion, die aus der Integration von folgenden Parteien zur stammt erhalten:

Ist die Formel bringen zentriert Zeiten abgeleitet und die Formel zentrierten Momente.

Die zentralen Momente eines Gesetzes kann von dem Moment erzeugende Funktion zentriert erhalten werden. Denn das Gesetz, die Änderung der Variable liefert die Formeln:

einerseits und

anderen.

Durch die Ermittlung der Koeffizienten der beiden Serien, impliziert dies, dass die ungerader Ordnung Momente Null sind ,, und gibt eine Formel für noch Ordnung Momente.

Die Asymmetrie, die Kurtosis und die normalisierte Kurtosis-Werte werden aus den Momenten Formeln erhalten:

Die Normalverteilung wird als Bezugspunkt für den Vergleich Trolling Dicken verwendet: Wenn ein Gesetz eine normierte Kurtosis, so hat das Gesetz eine dickere hinter der Normalverteilung und leptokurtisch genannt; Umgekehrt, wenn das Gesetz hat ein dünner als normale Schlepprechts und heißt platikurtique; die normierte Kurtosis keine Gesetze haben vergleichbare zieht das normale Recht und sollen mésokurtiques.

Die charakteristische Funktion bietet die cumulant Erzeugungsfunktion durch die Formel und bietet Kumulanten :, und.

Konvergenzsätze

Die erste Version von dem zentralen Grenzwertsatz, genannt dann Theorem Moivre-Laplace, wurde im Fall von Zufallsvariablen Bernoulli-Gesetz. Allgemeiner ausgedrückt: Wenn unabhängig und identisch mit endlicher Varianz Variablen für alle verteilt, und wenn die Summe festgestellt wird, dann sind

wo ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung zentriert reduziert.

Dieser Satz bedeutet, dass alles, was als die Summe einer großen Anzahl von kleinen unabhängigen Zufallswerte betrachtet werden können, ungefähr Normalverteilung. Dies zeigt die zentrale Bedeutung der normalen Gesetz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine physikalische Aussage des Satzes formulieren:

Der zentrale Grenzwertsatz gilt für alle Gesetze der Anfangswahrscheinlichkeitsvariablen iid mit einer Standard-Finite-Typ, bietet es eine gute Annäherung an die Menge, zum Beispiel:

  • wenn die Variablen des Bernoulli: dann folgt annähernd einer Normalverteilung. Diese Näherung ist in dem Fall zufriedenstellend;
  • wenn die Variablen Chi-Quadrat-Verteilung: Während etwa einer Normalverteilung folgt;
  • wenn die Variablen exponentiellen: dann folgt annähernd einer Normalverteilung.

Es gibt mehrere allgemeine Versionen dieses Satzes, beispielsweise indem man die unabhängige Zufallsvariablen, keine Handlung, sondern mit kleinen Abweichungen im Vergleich zu derjenigen von deren Mittelwert. Ein Gnedenko und Kolmogorov-Theorem besagt, dass eine normalverteilte Zufallsvariable ist die Summe vieler kleiner unabhängiger Zufallsvariablen von denen keine vorherrschende sind:

Theorem Betrachten einer Sequenz von Zufallsvariablen, von denen jede die Summe einer finiten Anzahl von Zufallsvariablen. Insgesamt führen die abgeschnittenen Zufallsvariable und annehmen,

  •  ;
  • Für alles, und.

Stabilität und normale Familie

Die Normalverteilung ist stabil Additiv, das heißt, die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen mit Normalverteilungen ist selbst eine Zufallsvariable mit Normalverteilung. Genauer gesagt: wenn und und unabhängig sind, dann wird die Zufallsvariable nach der Normalverteilung.

Diese Eigenschaft ist für n Variablen verallgemeinert, dh wenn für alle, folgen Zufallsvariablen normalverteilt und unabhängig sind, dann wird die Summe nach der Normalverteilung.

Diese Eigenschaft wird direkt mittels charakteristischen Funktionen demonstriert. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Summe zweier unabhängiger Variablen der Normalverteilung wird durch die Faltung der zwei Dichten angegeben. Dies führt zu der Faltungs Formeln oder Funktionen Faltung normalen Schritte, die wir beachten Sie:

Es sollte nicht mit dem Gesetz, dessen Dichte der Normalverteilungsdichte der Summe verwechselt werden.

Die Set-Funktionen als normale Familie namens Familie. Die natürliche Familie ist auch der Name aller Naturgesetze. Die Familie von Funktionen ist für die Faltung in dem Sinne, dass geschlossen: die Funktion ist die einzige, die die Familie erzeugt; wenn die Faltung von zwei Dichten ist in der Familie dann sind die beiden Funktionen sind in der Familie; und jede Faltungsdichte eine ausreichend große Anzahl von Zeiten und in geeigneter Weise renormiert Funktion liegt in der Nähe einer normalen Familie. Die folgenden drei Sätze geben mehr mathematischen Details.

  • Theorem: Wenn eine mittlere Dichte-Funktion 0 und Standardabweichung 1, und es gibt zufriedenstellend: wenn die Dichte der Standardnormalverteilung.
  • Lévy-Cramér Satz: wenn zwei Funktionen Dichten und zu überprüfen: dann und und. Mit anderen Worten, wenn die Summe der zwei unabhängigen Zufallsvariablen normal ist, dann werden die beiden Variablen Normalverteilungen.
  • Theorem: Wenn Dichte ist die gemeinsame Durchschnitt von n unabhängige Zufallsvariablen 0 und Standardabweichung 1, dann ist die Faltung der n-mal gleichmäßig konvergiert in x. Nehmen Sie dieses normale Familie nicht zu verwechseln mit dem normalen Familie holomorpher Funktionen.

Die Normalverteilung ist stabil Linearität: wenn und sind beide echte und dann die Zufallsvariable folgt der Normalverteilung.

Mit Stabilitäten durch Addition und Linearität, die Normalverteilung ist ein Spezialfall der stabilen Verteilung mit der Waage erfolgen. Unter den stabilen Gesetzen, Naturgesetz, das Gesetz der Levy und Cauchy Recht sind die einzigen, mit einem analytischen Ausdruck der Dichtefunktion.

Die Normalverteilung ist stabil Mittelwertbildung, das heißt, wenn es unabhängige Zufallsvariablen jeweils im Anschluss an die normalen Gesetze, während die durchschnittliche folgt dem Gesetz

Die normale Gesetz ist nicht konvex, dh, dass die Ungleichheit für alle Borelmengen A und B wird nicht überprüft, wenn die Messung ist normal. Wenn jedoch diese Ungleichheit mit dem Kehrwert der Normalverteilung Verteilungsfunktion normiert zentriert reduziert wird, wird der Satz erhalten:

Entropie und Informationsmenge

Shannon Entropie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung absolut stetiger Dichte gegeben, um eine Informationsmenge zu messen, und ist definiert durch:

In aller absolut stetig Varianz von festen Gesetzen, sind Naturgesetze der maximalen Entropie. Die maximale Entropie für eine Normalverteilung wird daher gegeben durch :. So spricht der Entropiemaximierung Theorie, dass, obwohl es nicht die beste Rechts auf die Werte angepasst, wird die Normalverteilung auf die Werte angezeigt, eine Entscheidung zu treffen, angepasst.

Es besteht auch ein Zusammenhang zwischen der Konvergenz von Sequenzen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu dem normalen Gesetz und der Zunahme der Entropie, so dass es ein wichtiges Werkzeug in der Informationstheorie.

Fisher Information einer Wahrscheinlichkeitsdichtegesetz ist ein weiteres Konzept der Informationsmenge. Die Dichte wird durch:

Wenn Sie regelmäßig genug Dichte einer zentrierten reduziert Recht prüft diese Informationen. Die normale Gesetz unterscheidet sich von anderen Dichten seit der letzten Ungleichung ist eine Gleichheit genau dann, wenn die Dichte ist, dass der Standardnormalverteilung.

Die Kullback-Leibler-Divergenz zwischen zwei Gesetze verwendet, um einen Abstand zwischen den beiden Gesetzen oder Verlust von Informationen zwischen den beiden Gesetzen zu messen. Die Kullback-Leibler-Divergenz zwischen zwei normalen Gesetze und ist:

Diese Divergenz ist Null, und; mehr sie wächst, wenn wächst.

Annäherung der Verteilungsfunktion

Gibt es keine analytischen Ausdruck für die normale Verteilungsfunktion Recht zwar zentriert um, das heißt, dass es keine einfache Formel zwischen der Verteilungsfunktion und der klassischen Funktionen wie es Polynomfunktionen, exponentielle, logarithmische, trigonometrische usw. Jedoch scheint die Verteilungsfunktion in mehreren Ergebnissen angewendet werden soll, so ist es wichtig, diese Funktion besser zu verstehen. Verschiedene Skripte als Serie oder verallgemeinerte Kettenbrüche sind möglich.

Für Werte des normalen Rechtsverteilungsfunktion reduziert zentriert geschrieben:

oder in der Form:

Für den normalen Gesetz Verteilungsfunktion reduziert zentriert geschrieben:

Außerdem digitalen und leicht berechenbare Weise geben die folgenden Näherungswerte der Normalverteilung Verteilungsfunktion mit reduziertem zentriert:

  • Ein Fehler in der Reihenfolge: denn wo;
  • Ein Fehler in der Reihenfolge: bis :;
  • Ein Fehler in der Reihenfolge :.

Hier ist ein Beispiel Algorithmus für die C-Sprache:

Ein weiteres Schreiben der Standardnormalverteilungsfunktion verwendet eine verallgemeinerte Kettenbruch:

Numerische Tabellen und Berechnungen

Wie im vorhergehenden Abschnitt erwähnt, ist es nützlich, die Verteilungsfunktion für digitale Anwendungen kennen. Tabellen der Werte wurden dann für die Verteilungsfunktion berechnet, sondern auch für ihre Inverse, die Quantil und Vertrauensintervalle für eine Toleranzschwelle bildet.

Tabelle der Verteilungsfunktionswerte,

Die folgende Tabelle gibt die Werte der Verteilungsfunktion, wenn X folgt der Standardnormalverteilung.

Zeilen, die Werte ergeben sich im ersten Teil der Variablen, die Startwerte in den Spalten geben den zweiten Teil. So ist die Box in der zweiten Zeile und dritten Spalte gibt :.

Tabellen Quantile

Die folgenden beiden Tabellen geben das Quantil der Werte des definierten Standardnormalverteilung.

Zeilenanfang in den Werten gibt den ersten Teil der variablen, gibt die Spaltenspitzenwerte den zweiten Teil. So ist die Box in der zweiten Zeile und dritten Spalte gibt :.

Diese Tabelle zeigt die Werte für p-Quantil groß.

Die Tische sind für die positiven Werte der Standardnormalverteilung gegeben. Formeln der Verteilungsfunktion ist es möglich, andere Werte zu erhalten.

Negative Werte der Verteilungsfunktion ist gegeben durch die Formel. Zum Beispiel:

Des allgemeinen Gesetzes der Verteilungsfunktion Werte werden durch die Formel erhalten. Zum Beispiel:

Die Wertetabelle ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass eine variable aléatoirWiedernormalverteilung ist in einem bestimmten Intervall durch die Formel :. Zum Beispiel:

  •  für.
  •  für.

Einer der Vorteile der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten über Intervalle ist die Verwendung von Vertrauensintervalle für statistische Tests. Mittelwert und Standardabweichung: Die Normalverteilung wird durch zwei Werte definiert. Somit ist es hilfreich, die Art Intervallen zu suchen.

Tabellenwerte Vertrauensintervalle

In der folgenden Tabelle ist dank der vorherigen Tabellen erhalten und gibt die Wahrscheinlichkeiten:

In dieser Tabelle werden Werte von Konfidenzintervallen liefert die Normalbereiche für einen gegebenen Konfidenzniveau. Für die Tabelle zeigt:

  • .
  • .

Umgekehrt, wenn der Wahrscheinlichkeitswert festgelegt ist, gibt es einen eindeutigen Wert, daß :. Das Intervall wird Bereich von Normalität oder Vertrauensbereich Vertrauensniveau bezeichnet. Einer Normalverteilung und der vorgegebenen Schwelle, ist das Verfahren für die Suche nach diesen Wert, um den Array-Wert Quantil verwenden, um den Wert, wie dass das Konfidenzintervall dann :.

Zum Beispiel ist der normale Bereich bei 95% Konfidenzniveau von einer Normalverteilung der Abstand, wo Kontrollen entweder ist das Intervall: nach dem Runden.

Links zu anderen Gesetzen

Dank seiner zentralen Rolle unter den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit und in Anwendungen, die Normalverteilung hat viele Links zu anderen Rechtsvorschriften. Manche Gesetze sind auch von der Normalverteilung besser an die Anwendungen gebaut.

Gewohnheitsrechte

  • Wenn eine Zufallsvariable folgt dem normalen Gesetz, dann ist die Zufallsvariable folgt der logarithmischen Normalverteilung.
  • Wenn U und V sind zwei unabhängige Zufallsvariablen mit einheitlichen Gesetzes, dann die beiden Zufallsvariablen sind Standard normal. Zusätzlich X und Y sind unabhängig voneinander. Diese beiden Formeln werden verwendet, um die Normalverteilung simulieren.
  • Wenn die Variablen sind unabhängig und Gewohnheitsrecht, dann wird die Summe ihrer Quadrate: folgt einem Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden. Die Formel reicht für normale Variablen nicht zentriert und nicht reduziert. Darüber hinaus die gleiche Art von Verbindung besteht mit dem Recht der nicht-zentralen Chi-Quadrat, das Gesetz der χ und dem Recht der nicht-zentralen χ.
  • Wenn die Variable U folgt einer Standardnormalverteilung: Wenn V folgt einem Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden, und wenn U und V unabhängig sind, dann wird die Variable nach einer Kursteilnehmer mit n Freiheitsgraden.
  • Wenn eine Zufallsvariable mit Standardnormalverteilung und gleichmäßige Recht, dann heißt Slash Recht.
  • Für eine Zufallsvariable mit Standardnormalverteilung ist die variable Standardpotenzgesetz p. Für diese Variable ist standard normal.
  • Wenn und zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Standardnormalverteilung, dann der Quotient folgt der Cauchy-Verteilung mit dem Parameter 0 und 1.
  • Es ist ein mehrdimensionales Version des normalen Gesetz, genannt multivariate Normalverteilung, multivariate Gaußsche Gesetz oder Akt von mehreren Variablen. Wenn Zufallsvariablen der Normalverteilung, so ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvektor multivariate Normalverteilung. Seine Wahrscheinlichkeitsdichte nimmt die gleiche Form wie die Dichte der Normalverteilung, aber mit einer Matrix Schreiben. Wenn die Zufallsvektor multivariate Normalverteilung, wo der Durchschnittsvektor und die Varianz-Kovarianz-Matrix, wird die bedingte Verteilung der Erkenntnis, dass die normale Verteilung ist:
  • Das Recht der Norm eines Vektors, dessen Koordinaten sind unabhängig und zentriert reduziert normalen Gesetz ist das Gesetz von Rayleigh.

Beachten Sie, dass die inverse Gaußsche Verteilung und generalisierte Inverse Normalverteilung haben keine Verbindung mit einer einfachen Formel von der normalen Verteilung der Variablen erstellt, aber eine Beziehung mit der Brownschen Bewegung.

Generalized normalen Gesetze

Mehrere Verallgemeinerungen der Normalverteilung wurden eingeführt, um seine Form, seine Asymmetrie, ihre Unterstützung, etc. ändern

Eine neue Form der besagten Parameter im normalen Gesetz für eine verallgemeinerte Normalverteilung eingebracht. Diese Familie von Gesetzen enthält den normalen Gesetz, was der Fall ist, aber Laplace-Gesetz. Die neue Wahrscheinlichkeitsdichte ist gegeben durch:

Es gibt einen Weg, um die Asymmetrie der Normalverteilung zu ändern um das Gesetz genannte asymmetrische Normalverteilung. Die Einführung einer Einstellung auf Normalverteilung zu erreichen, wenn eine Asymmetrie nach rechts, wenn und Asymmetrie nach links, wenn. Die Dichte dieses Gesetz ist gegeben durch:

Um die Medien zu ändern, einschließlich der Normalverteilung zu machen, begrenzt möglicher Änderung des Gesetzes ist es, abschneiden. Es wird dann geändert, um die geschnittenen Teile werden über allen Werten gehalten verteilt skalieren. Die reduzierte zentrierten Normalverteilung in -T und T für die Unterstützung des Bereichs und Dichtefunktion abgeschnitten ist definiert durch:

Es ist auch möglich, die Normalverteilung der einer einzelnen Seite abschneiden. Sie wird dann als "Normalverteilung gleichgerichtet." Wenn eine Zufallsvariable ist normal verteilt sind, dann folgt die Normalverteilung gleichgerichtet.

Ein anderer Weg, um das Medium für die Normalverteilung zu ändern, ist "Abheben" von dem Dichtewert, der erhalten Gesetz der gefaltete Normalverteilung. Bestände entfällt beispielsweise werden dann in der Nähe des Scharniers Wert 0 hier verteilt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des gefalteten 0 Normalverteilung ist gegeben durch:

Eine verallgemeinerte Version der Lognormalverteilung stellt eine Familie von Gesetzen, einschließlich der Normalverteilung als Sonderfall. Ein Positionsparameter, ein Skalierungsparameter und eine Formparameter: Die Familie wird mit drei Parametern definiert. Wenn diese verallgemeinerte Log-Normal ist das normale Recht. Die Dichte ist gegeben durch:

Konstruktionen von der Normalverteilung

Eine Gauß'sche Mischung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Dichte durch eine lineare Kombination von zwei normale Dichte Gesetz definiert. Bezeichnet man die Dichte und der Dichte ist die Dichte dann eine sogenannte Gauß-Mischwahrscheinlichkeitsgesetz.

Wir dürfen uns nicht verwirren die lineare Kombination von zwei unabhängigen Zufallsvariablen mit Normalverteilung, die eine Gaußsche Variable bleibt und die lineare Kombination ihrer beiden Dichten, die ein Gesetz, das nicht das normale Gesetz sieht.

Die beiden Modi werden durch Naturgesetze gegeben, und das Gauß-Gemisch wird dann bimodale Recht. Seine lokalen Maxima sind in der Nähe, aber nicht gleich den Werten und.

Es ist möglich, andere Wahrscheinlichkeitsdichten durch die Dichte der Standardnormalverteilung aufzubauen. Harald Cramér setzt 1926 allgemeine Ergebnis, wenn eine Wahrscheinlichkeitsdichte zweimal differenzierbar ist, wenn die integrale konvergiert, und wenn, dann wird die Funktion kann in eine Reihe absolut und gleichmäßig konvergente als eine Funktion der Dichte von dem Gesetz abgeleitet erweiterbar normalen zentrierten reduzierten und Hermite-Polynome:

Anwendungen

Historisch gesehen, ist die Normalverteilung in Studien von Himmelsobjekten oder Glücksspiel eingeführt. Sie studierte und mathematisch verallgemeinert und es in vielen anderen Anwendungen in der Mathematik, in anderen Wissenschaften verwendet wird, in mehr Hochschule oder Sozialwissenschaften. Hier eine Auswahl von Beispielen.

Ballistic

Im neunzehnten Jahrhundert, um die Genauigkeit der Artilleriefeuer zu verbessern, werden viele Waffen Schüsse abgefeuert. Es wird beobachtet, dass die Richtung und Umfang ähnlich wie bei normalen Gesetze sind. Dieses Verständnis hilft, die Bediensteten zu führen, um den Brand zu setzen. Dieses Naturgesetz kommt von verschiedenen Faktoren wie Wetter, sondern auch um militärische Ausrüstung zu tragen. Die Dispersion der Aufschlagpunkte und daher des Gesetzes, Informationen über den Zustand der Anlage und über die mögliche Anzahl abnormaler Zündung. Die Anpassung an die Normalverteilung wird dann durch Lhoste Prüfung an einer Serie von 200 Aufnahmen durchgeführt. Der Mathematiker Jules Haag gelten die Verfahren bis 2680 Aufnahmen aus verschiedenen Bereiche und verschiedene Richtungen.

Intelligenzquotient

IQ zielt darauf ab, einen numerischen Wert, um die menschliche Intelligenz zu geben. Im Jahr 1939 gibt David Wechsler eine Definition dieser Quotienten statistisch. Ein Wert von 100 ist mit dem Mittelwert der in einer Population von gleichen Alters erhalten, und 15 Punkte werden für gleiche Abweichung von der Standardabweichung aus den Werten der Testpopulation erhalten abgezogen Werte angegeben. Aus diesem Grund wird in der Praxis die IQ-Verteilungskurve wird durch die Glockenkurve der Normalverteilung von 100 und einer Standardabweichung 15 zentriert modelliert :. Allerdings ist dieses Modell von einigen Wissenschaftlern in Frage gestellt. In der Tat, sind die Testergebnisse in Abhängigkeit der sozialen Klassen der Bevölkerung; die Population nicht mehr homogen, das heißt, die Eigenschaft der Unabhängigkeit der Individuen nicht verifiziert werden. IQ würde dann eine Annäherung Maß der menschlichen Intelligenz, die unbekannter Fehler ist zu sein.

Anatomie des Menschen

Eine beobachtbare und messbare Zeichen in einer vergleichbaren Population von Individuen hat oft eine Frequenz durch eine Normalverteilung modelliert. Dies ist zum Beispiel der Fall von Menschengröße für einen bestimmten Alter, die Größe der Schnäbel der Vögel in einer Population, wie Darwinfinken studierte von Darwin. Insbesondere kann ein meßbares Zeichen in einer Population mit einer Normalverteilung modelliert werden, wenn sie genetisch modifiziert wird durch viele Allele oder von vielen Loci oder kodiert werden, wenn der Charakter hängt von einer Vielzahl von Umwelteinflüssen .

Die Wachstumskurven von der WHO und Gegenwart zB in Gesundheitskarten gegeben, sind von der Modellierung über das normale Recht. Durch eine detaillierte Studie der Perzentile, gemessen in einer festen fähigen Bevölkerung und durch statistische Tests der Angemessenheit wurden die Verteilungen der Größe und Gewicht nach Alter von Wahrscheinlichkeitsgesetzen modelliert. Zu diesen Gesetzen gehören die Normalverteilung, die Normalverteilung Box-Cox, die Law Student Box-Cox oder die exponentielle Macht der Box-Cox-Recht. Graphisch, für jede Altersgruppe, das für jede vertikale Achse, das mittlere dargestellt und die beiden Werte und das ist die Standardabweichung geben die beiden Kurven, und repräsentieren somit die Entwicklung einer Reihe von Vertrauen.

Signal und physikalischen Messungen

Wenn ein Signal übertragen wird, ein Verlust von Informationen erfolgt durch die Übertragungsmittel oder die Decodierung des Signals. Wenn eine physikalische Messung gemacht wird, kann eine Unsicherheit über das Ergebnis aus einer mangelnden Genauigkeit der Messvorrichtung oder eine Unfähigkeit, den theoretischen Wert erhalten werden. Eine Möglichkeit, solche Phänomene zu modellieren ist es, ein deterministisches Modell für das Signal oder die Messung und das Hinzufügen oder Multiplizieren eines Zufalls Begriff, der die zufällige Störung betrachten, manchmal Fehler oder Rauschen. In vielen Fällen ist dieser Zusatzfehler angenommen Normalverteilung der log-normal in der multiplikativen Fall. Dies ist der Fall, zum Beispiel, zur Übertragung eines Signals über ein elektrisches Kabel. Wenn das Verfahren zeitabhängig ist, wird das Signal oder die Messung dann durch weißes Rauschen modelliert.

Bei der Bildverarbeitung ist die Normalverteilung verwendet, um Bilder einschließlich Reduzieren von Rauschen zu verbessern, ist, dass die Bildfehler zu sagen. Glätten mit einem Gauß-Filter verwendet.

Wirtschaftlichkeit

Die Preise für einige Waren werden durch einen Zuschuss gegeben, ist der Fall von Weizenpreise, Rohbaumwolle oder Gold. Zu dieser Zeit bewegt sich der Preis bis zur Zeit durch die Erhöhung. Im Jahr 1900 postuliert Louis Bachelier, dass diese Erhöhung folgt einer Normalverteilung mit Mittelwert Null und deren Varianz hängt davon ab, und. Trifft jedoch dieses Modell einige die Beobachtung der Finanzmärkte. Andere Mathematiker dann vorschlagen, dieses Modell unter der Annahme, dass es die Erhöhung, die einer Normalverteilung folgt, das heißt, dass der Anstieg der Preise folgt einer logarithmischen Normalverteilung zu verbessern. Dieses Modell wird durch Benoît Mandelbrot in allem verbessert, unter der Annahme, dass der Anstieg folgt eine stabile Distribution. Es scheint, Brownsche Bewegung, deren Wachstum normal verteilt und das Lévy-Prozess, die stetige Zunahme der Marktkurven modellieren.

Mathematik

Die Normalverteilung ist in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird. Die Gaußsche weiße Rauschen ist ein stochastischer Prozess, dass zu jedem Zeitpunkt eine Zufallsgröße unabhängig von der normalen Verteilungsprozess zu anderen Punkten ist der Prozess. Brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, dessen Stufen sind unabhängig, stationäre und normalverteilt sind. Inklusive einem Sollwert folgt die Zufallsvariable der Normalverteilung. Dieser Zufallsprozess hat viele Anwendungen, ist es ein Link ente der Wärmeleitungsgleichung und die Normalverteilung ist. Wenn das Ende einer Metallstange ist für eine kurze Zeit erhitzt wird, breitet sich die Wärme entlang der Stange in Form einer Glockenkurve.

Die Normalverteilung hat auch Anwendungen im nicht-zufälligen mathematischen Bereichen wie der Zahlentheorie. Jede ganze Zahl n kann als die Multiplikation von Primzahlpotenzen geschrieben werden. Beachten Sie die Anzahl der verschiedenen Primzahlen in dieser Zerlegung. Da zum Beispiel. Erdös-Kac Satz gewährleistet, dass diese Funktion der Dichte der Normalverteilung zusammen. Das heißt, dass für eine große Anzahl in der Größenordnung, gibt es eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl von Primfaktoren, um 3 zu sein, da.

Tests und Schätzungen

Kriterien der Normalität

Es ist wichtig zu wissen, ob die Werte werden entsprechend der Normalverteilung verteilt sind. Einige Kriterien können, bevor sie einen statistischen Test untersucht werden.

Das erste Kriterium ist die einfachste, um die Verteilungsplan Pole ziehen und visuell zu überprüfen, ob das Diagramm "Klingel" geprägt. Dieses Kriterium, subjektive kann jedoch einige der nicht-Gaußschen Verteilungen dann als zu beseitigen.

Insbesondere die Verwendung von Normalität Stränden vergleicht mit den beobachteten Frequenzen leicht berechenbar. Das Kriterium besteht darin, die normale Bereiche oder Konfidenzintervalle verwenden. Wenn Werte folgen der Normalverteilung:

  • 68% von ihnen sind im Bereich;
  • 95% von ihnen sind in dem Bereich;
  • 99,7% von ihnen sind im Bereich.

Ist dies nicht der Fall ist, um die Wahl zu modellieren das Gesetz durch das normale Gesetz beobachteten Werte ist nicht ratsam.

Das Recht ermöglicht Henry, um eine Einstellung der beobachteten Werte von einem normalen Gesetz zu machen. Das heißt, in die richtige repräsentative Henry, ist es möglich, eine Diagnose auf der normalen oder nicht Verteilung bilden, und in dem Fall, wo der letztere wahrscheinlich normal, es ermöglicht es, den Mittelwert und die Standardabweichung zu bestimmen. Die Werte werden beobachtet und durch ihre empirische Verteilungsfunktion dargestellt. Sie sind Gaussian, wenn die auf einem gausso-Papier arithmetische vertreten Punkte werden auf einer geraden Linie namens Henry ausgerichtet sind. A gausso Arithmetik Papier wird mit einer Skala arithmetische Abszisse entsprechend der Inverse der Verteilungsfunktion der reduzierten zentrierten Normalverteilung die Ordinate absolviert und benotet.

Diese Kriterien sind notwendig, aber nicht ausreichend. Es ist jedoch nicht genug, um die Kriterien erfüllen zu sagen, dass die Werte folgen der Normalverteilung.

Normalität Tests

Durch ihre Rolle in dem zentralen Grenzwertsatz wird der Normalverteilung in vielen statistischen Tests genannt Gauß- oder Gauß-asymptotisch gefunden. Die so genannte Normalitätsannahme basiert auf einer früheren in einer Dichtsitzprüfung vorgenommen, um anzuzeigen, dass dieses Gesetz folgt die ungefähre Normalverteilung. Es gibt mehrere Tests auf Normalität.

  • Ein Chi-Quadrat-Test für die Eignung für die Normalverteilung ist möglich, zu prüfen, ob ein Satz von beobachteten Werten k einer Normalverteilung folgt. In dieser Art von Test ist die Null-Hypothese: die beobachtete Verteilung kann durch die Normalverteilung angenähert werden. Nachdem gruppiert die in der Klasse beobachtet k-Werte, die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable mit normalen Gesetz gehört zu jeder Klasse durch Schätzen der Parameter der Recht dank der beobachteten Werte. Diese Wahrscheinlichkeiten können mit den Zahlentabellen der Normalverteilung erhalten werden. Wenn die Nullhypothese wahr ist, die Chi-Quadrat-Statistik aus den beobachteten Werten und früheren Wahrscheinlichkeiten berechnet folgt einem Chi-Quadrat-Verteilung. Die Anzahl der Freiheitsgrade gleich k-1, wenn die mittlere und Standardabweichung bekannt sind, k-2, wenn einer der beiden Parameter nicht bekannt ist, oder K-3, wenn beide Parameter nicht bekannt sind. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn der Chi-Quadrat-Statistik größer als die durch den Tisch des Chi-Quadrat-Verteilung Schwelle erhaltene Wert.
  • Lilliefors der Test beruht auf dem Vergleich zwischen dem normalen Gesetz Verteilungsfunktion und der Summenverteilungsfunktion basiert, ist dies eine Anpassung der Kolmogorov-Smirnov-Test. Meinungen sind von der Leistung des diesem Test unterteilt, ist es wirksam um den Mittelwert ist aber weniger so für den Vergleich der Verteilung Schwänze. Die beobachteten Werte werden in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind, sind Werte, die theoretischen Frequenzen der Standardnormalverteilung den standardisierten Werten verbunden. Wenn Statistiken:
  • Die Anderson-Darlingtest Test Anderson-Darling-ist eine weitere Version des Kolmogorov-Smirnov besser auf das Studium der Verteilung Schwänzen geeignet. Indem sie dieselben Bezeichnungen wie die Test Lilliefors wenn Statistiken:
  • Der Test basiert auf D'Agostino Koeffizienten Symmetrie und Abflachung der Basis. Es ist besonders effektiv aus beobachteten Werten. Während die Idee dieses Tests ist einfach, es Formeln komplizierter zu schreiben. Die Idee ist, Änderungen zu bauen die Koeffizienten der Symmetrie und Abflachung Variablen und Standardnormal erhalten. Wir müssen dann eine Chi-Quadrat-Test mit Statistik.
  • Der Test Jarque Bera wird auch an den Koeffizienten der Symmetrie und Abflachung berechnet. Dieser Test ist nur von Interesse, eine Vielzahl von beobachteten Werten. Betrachtung der beiden Schätzer:
  • Das Shapiro-Wilk-Test ist für kleine Proben von weniger als 50 Werte. Die beobachteten Werte werden in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind und die Koeffizienten werden aus Quantil, Mittelwert, Varianz und Kovarianz einer Normalverteilung berechnet. Wenn Statistiken

Parameterschätzungen

Wenn ein Zufallsphänomen beobachtet wird und es wird angenommen, dass durch eine Normalverteilung modelliert werden kann, ist eine der Fragen, die gestellt werden können: Welche Wertparameter und die Normalverteilung? Eine Abschätzung wird dann durchgeführt. Beobachtungen während der Beobachtung des Phänomens zurückgewonnen werden durch Zufallsvariablen bezeichnet werden, sind auch die Bewertungen der arithmetische Mittelwert und dem Mittelwert der Quadrate nützlich:

und

Diese beiden Werte sind jeweils Schätzer der Mittelwert und die Standardabweichung, berechnet aus beobachteten Werten sind. Da die Variablen normal verteilt sind, so ist das Gesetz und Chi-Quadrat-Verteilung.

Ein Verfahren ist, für ein Konfidenzintervall bei einer Schwelle auf der theoretischen mittleren aussehen. Verwenden des Quantil der Ordnung und die Formel Definition der Quantil bestimmt:

Mit den beobachteten Werten und Zahlentabellen der Standardnormalverteilung, ist es möglich, die numerischen Werte der Intervallschwelle bereitzustellen.

Eine Methode ist, eine Zwischenvariable, die mit den neuen Zufallsvariablen von Recht und Gesetz geschrieben werden können, nutzen: ist das Studenten. Verwenden des Quantil der Ordnung und die Formel Definition der Quantil bestimmt:

Mit den beobachteten Werten und Zahlentabellen der Standardnormalverteilung, ist es möglich, die numerischen Werte der Intervallschwelle bereitzustellen.

Das Verfahren ist das gleiche wie das vorhergehende. Die Einführung des Zufallsvariable Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden bietet:

wo und gibt das Quantil des Gesetzes des Chi-Quadrat-Freiheitsgrade, die von der numerischen Tabelle Chi-Quadrat erhalten werden können. Das Intervall der Vertrauensbereich auf der Schwelle.

Simulation

Um eine zufällige Phänomen zu untersuchen tritt bei dem eine normale Variable, deren Parameter sind bekannt oder geschätzt wird, ist ein analytischer Ansatz oft zu komplex, um zu entwickeln. In einem solchen Fall ist es möglich, ein Simulationsverfahren zu dem Monte Carlo Verfahren zur Erzeugung einer künstlichen Abtastwerte der unabhängigen Variablen zu verwenden, insbesondere mit dieser mit Hilfe eines Computers. Software oder Programmiersprachen haben im allgemeinen einen Pseudozufallszahlengenerator mit gleichmäßiger Verteilung auf] 0,1 [. Es ist dann, dieses Gesetz in eine Variable variable umwandeln.

Ansätze zu vermeiden

  • Im Allgemeinen kann man die inverse Funktion der Verteilungsfunktion verwendet werden: in diesem Fall folgt die Zufallsvariable der Standardnormalverteilung; Jedoch ist dieses Verfahren umständlich mangels einfacher Ausdrücke und Funktionen; Außerdem sind die Ergebnisse numerisch unbefriedigend.
  • Wenn zwölf unabhängigen Variablen des einheitlichen Gesetzes, dann wird die Variable Null und Varianz-Typ. Somit wird mit dem zentralen Grenzwertsatz folgt diese variable etwa die Standard normal. Dies ist ein einfacher Weg, um eine Normalverteilung zu erzeugen, bleibt jedoch die Annäherung unklar.

Effektive Ansätze

  • Eine beste Algorithmus ist der Box-Muller-Methode unter Verwendung eines polaren Darstellung von zwei einheitliche Koordinaten durch die Formeln:
  • Eine Verbesserung wurde durch Marsaglia und Bray 1964 vorgeschlagen, anstelle der Cosinus- und Sinus durch die Variablen und wo und sind unabhängig von Rechts und damit:
  • Für eine große Anzahl von Zufalls zieht, ist die Stufentempel Verfahren schneller, aber komplexere ihre Umsetzung.

Umsetzung in Computing-Software

Die Normalverteilung ist in vielen Computing-Software integriert.

Tributes

Durch seine weit verbreiteten Einsatz in Wissenschaft, Naturrecht, häufig durch die Verwendung der Glockenkurve, wird in verschiedenen Kontexten betont und wird verwendet, um die Universalität einer statistischen Verteilung vertreten, unter anderem.

Francis Galton im Gespräch über die normalen Gesetz in seinem Werk Natur inheritence 1889 in dieser glühenden Worten:

 Francis Galton

Im Jahr 1989 wurde eine Hommage an Carl Friedrich Gauss durch Drucken ein Ticket in seinem Bild bezahlt, ist der Glockenkurve auch auf dem Ticket vorhanden. Grabsteine ​​tragen das Zeichen der Glockenkurve ist der Fall bei einigen Mathematikern.

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