Pattern

Die Theorie ist ein mathematisches Muster der Forschung, um die kombinatorische und topologische Aspekte der arithmetischen algebraischen Geometrie zu vereinen versucht.

In den frühen 1960er Jahren und spekulative Weise von Alexander Grothendieck zu Immobilien angeblich gemeinsam verschiedene Kohomologietheorien, und nicht auf dem neuesten Stand, die ihr Ziel erreicht zu aktualisieren eingeführt, im Herzen der vielen offenen Probleme in der Mathematik ist es rein. Insbesondere mehrere Eigenschaften elliptischer Kurven erscheinen motivische Natur, wie der Vermutung-Birch und Swinnerton Dyer.

Die Idee ist, ein kohomologische Theorie zu entwerfen, als kontra Funktorkategorie, universell in dem Sinne, dass alle kohomologische Theorie Faktoren durch.

Geschichte und Motivation

Die Weil-Vermutungen

In der Studie von kompakten Mannigfaltigkeiten der Dimension selbst, stellen wir die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in ℚ, die bekannten Objekte, sie sind vektor ℚ endlich dimensionalen Räumen gibt es eine Poincaré Dualität usw. Darüber hinaus können mehrere gleichwertige Arten definieren: mit der Frage, singuläre Koketten, über Čech Kohomologie, Einführung von Derivaten Funktoren ..., die die gleiche Konstruktion gibt, wie die Eilenberg-Steenrod Axiome werden überprüft .

Die Arbeit von André Weil auf projektiven algebraischen Varietäten führte ihn zu der Vermutung, die seinen Namen tragen zu formulieren, und es wird klar, dass sie fließen aus einer kohomologische Theorie "rein algebraischen" mit guten Eigenschaften. Aber es stellt sich heraus, daß keine solche Kohomologietheorie mit Koeffizienten in ℚ möglich ist, und Arbeiten zielen daher auf eine Theorie über einem Feld der Charakteristik Null verschieden von ℚ gerichtet.

Die kohomologische Zoo

In den frühen 1960er Jahren, bietet Grothendieck die kristallinen cohomologies Spreads und stellt die De Rham Kohomologie algebraischer Rahmen, in dem es zeigt, dass es gute Eigenschaften Charakteristik Null hat. Aber dann gab es viele "gute" Kohomologietheorien: wenn k algebraisch abgeschlossenen und ℓ eine Primzahl der Charakteristik von k, étale Kohomologie gibt Gruppen ℓ-adische Kohomologie auf der De Rham Kohomologie gibt Gruppen, die Vektorräume über k sind, wenn das Merkmal von Null verschieden ist, das kristalline cohomology gibt Vektorräume über dem Bereich von Bruchteilen der Ring von Witt Vektoren mit Koeffizienten in k, Hodge cohomology ...

Also hier ist die scheinbare Paradoxon in den frühen 1960er Jahren: diese Theorien nicht zusammenfallen, denn sie geben Kohomologiegruppen in grundlegend verschiedenen Körpern, aber sie haben gemeinsame Eigenschaften scheinen sie alle kommen aus Kohomologietheorie mit Koeffizienten in ℚ sondern dass eine solche Theorie nicht vorhanden ist, wie wir wissen.

Die Geburt der Theorie der Motive

Ein Ansatz besteht darin, zunächst beschränkt auf den Fall der ersten Gruppenkohomologie untersuchen. Eine der Spuren von Giacomo Albanese vorgeschlagen wurde dann mit jeder algebraischen Vielzahl V eine Vielzahl Abelian k zuzuordnen. Es ist dann möglich, die jacobian Vielzahl anstelle des ersten Kohomologiegruppe betrachten, was ermutigende Ergebnisse. Hoffentlich ist dieser Idee, die im eindimensionalen Fall arbeitet, Schiffe, die größer sind, mit Eilenberg-MacLane Raum anstelle von Abelschen Varietäten. Aber dieser Richtung bleibt steril.

Dies ist Alexander Grothendieck, die zum ersten Mal von Gründen in einem Brief an Jean-Pierre Serre datiert 1964 im Anschluss an eine musikalische Analogie spricht, in der Hoffnung, "die" gemeinsame Masse "hinter dieser Vielzahl von kohomologische Invarianten" offenbaren. Allerdings ist es nie Michel Demazure und Steven Kleiman, die die ersten Artikel über die Lehren Grothendieck schreiben veröffentlichte eine explizite über sie geschrieben ist.

Es soll universal kohomologische Theorie, die auf dem folgenden Plan basiert: betrachten wir eine Klasse von projektive Varietäten und

  • Morphismen werden von Äquivalenzklassen von ℚ-Übereinstimmungen ersetzt;
  • Es fügt einen formellen Einwand gegen die abelschen Kategorie zu machen und in der Lage, eine Formel für Künneth schreiben;

In Anbetracht der Kategorie so erhaltene C, und die Dual-H Klasse C, die kontravarianten Funktor Natur Kategorie der glatten algebraischen Varietäten in H factorises ganzen kohomologische Theorie unserer Wahl ist die Theorie der gewünschten Muster und die entsprechende Kategorie wird Kategorie Motive genannt.

Hin zu einer motivischen Kohomologie

Der Hauptnachteil dieser Konstruktion besteht darin, dass es nicht explizit. Schlimmer noch, viele Vermutungen schwierig dazwischen sich vor dem Sprechen der Spiele oder einfach algebraische Zyklen: Vermutungen von Hodge, Tate ... diese Annahmen jetzt bilden, was die Standard-Vermutungen genannt, und es scheint, dass jede Theorie Muster auch Teil- und spekulativ, wie sie ist, hängt davon ab.

Es dauerte 10 Jahre und die Arbeit der Wei-Liang Chow, um auf eine explizite Formulierung der Kategorie Gelände führen: die Gründe für Chow.

Wenn die Gründe im Sinne von Grothendieck, oder "reinen Motiven," die Kohomologie glatte projektive Varietäten zu beschreiben, ist es auch legitim zu suchen, was würde die Kohomologie beliebiger Sorten beschreiben Kohomologie Weil durch Kohomologie Bloch-Ogus ersetzt und wir sprechen von "gemischten Motiven". Die Existenz einer solchen Kategorie MM Gelände wurde von Alexander Beilison 1987 vermutet, und die Eigenschaften, die sie überprüfen sollten.

Anstatt diese Kategorie zu bauen, Pierre Deligne vorgeschlagen, eine Kategorie, die alle guten Eigenschaften der abgeleiteten Klasse hätte zu suchen. Das ist, was zu Voevodsky Vladimir und Andrei Suslin gelang in den späten 1990er Jahren durch den Vorschlag die DM abgeleiteten Kategorie. Dies ist eine Kategorie der Strahlen relativ zu einer Grothen Topologie außerordentlich feine Muster auf. Diese Konstruktion erlaubt Voevodsky lösen die Vermutung von Milnor, Arbeit, für die er die Fields-Medaille im Jahr 2002. Allerdings ist diese Kategorie nicht die angenommen t-Struktur, die die Kategorie MM ab DM wieder aufzubauen wäre, und bleibt die Frage, wie man eine Klasse von gemischten Motiven bauen geöffnet.

Der Bau der Kategorie der reinen Motiven

Nach dem Ansatz der Grothendieck, das Problem ist zuerst die Kategorie von Mustern und Morphismen, die binden, zu identifizieren, anstatt zu versuchen, die Gründe selbst. Diese Kategorie sollte abelschen, halbeinfach ist und überprüfen Sie die Faktorisierung Eigentum.

Construction reinen Motiven ist in der Regel in drei Phasen unterteilt. Ausgehend von einer Kategorie der glatte projektive K-Systeme konstruieren wir die Kategorie der Entsprechungen Ausbau Morphismen; dann haben wir die Kategorie der reinen Motiven "effektiv" zu erhalten, indem man die Pseudo-abelsche Hülle; Endlich haben wir die Kategorie der reinen Motiven zu konstruieren durch Umkehren der Muster der Lefschetz. Die Konstruktion hängt streng Wahl einer Äquivalenzrelation auf algebraischen Zyklen - je feiner das gröbere: rational, algebraischen, Voevodsky, homo und digital.

Wir nachstehend beschriebenen Fall der rationalen Gleichwertigkeit.

Rational Gleichwertigkeit und Chow Gruppen

Sei X eine endliche Regelung. Betrachten wir ein Unterschema W von X, geschlossen für die Zariski-Topologie und Kodimension p, und bezeichnen wir die Gruppe der algebraischen Zyklen der Kodimension k W, ist, dass, um die freie abelsche Gruppe vom Teil erzeugt sagen -schémas geschlossen Integrität W, die von Kodimension k sind.

Für eine auf W definiert rationale Funktion f, können wir ihre Teiler berücksichtigen. Dies ist ein Element, sendet. Als abelsche Untergruppe von den Teiler von rationalen Funktionen auf W. Wir haben es nach Vereinbarung generiert definiert und definiert die Gesamt benotet abelsche Gruppe.

Wir definieren den Begriff der Gleichwertigkeit und rational: für zwei algebraischen Zyklen, und wenn sie im Besitz war. Wir legen

die k-te Gruppe von Chow. Dies sind abelschen Gruppen.

Kategorie Entsprechungen

Das Konzept der Korrespondenz verallgemeinert, dass von Mustern und entspricht einem morphism algebraischen Zyklus für zwei X und Y-Muster definieren wir

Es ist natürlich definieren eine Zusammensetzung solcher Ringe, die in die Kategorie der Verbindungen wie folgt aufbauen können:

  • Objekte sind Objekte;
  • alle X morphisms Y.

Die Klasse von Morphismen, so musste eine natürliche functor war einfach erweitert.

Kategorie reinen Motiven Belegschaft

Die Kategorie Korrespondenz ist additiv, aber nicht a priori, weil es abelschen. Es ist jedoch näher an der Situation in der Gebäudehülle Karoubi, die einen pseudo-abelschen Kategorie zu erhalten, ermöglicht:

Kategorie namens reinen Motiven Belegschaft.

Insbesondere gibt es eine voll treu functor.

Kategorie reinen Motiven Chow

Es stellt fest, absolvierte Matches:

setzen wir die Kategorie der Chow Beweggründe wie folgt:

  • Die Objekte sind von der Form mit einem Muster von X p X ein Projektor, und eine relative ganze Zahl r;
  • Die hom-Sets sind:

Diese Kategorie ist noch pseudo-abelschen, und wir verfügen über eine voll treuer Funktor.

Es hat immer noch eine kanonische functor h

genannt Muster X.

Struktur der Kategorie der reinen Motiven

Auto-Dualität

Der Pullback in der Kategorie Motive gibt einen symmetrischen monoidal Kategoriestruktur:

Die Einheit ist. In der Literatur wird dieses Gerät häufig mit dem Symbol bezeichnet.

Wenn X der Dimension n, gibt es eine Dualität und macht die Kategorie der Chow Beweggründe eines starren Klasse. Die Kategorie der tatsächlichen Gründen ist jedoch nicht starr, da es nicht in dieser Dualität stabil.

Das Schaltmuster ist ein Muster für alle k relativ.

Reduzierte Muster, Muster Lefschetz, Muster Tate

Sei X ein Schema und x rational sein. Von Material mit dem Strukturdiagramm der morphism ist eine X-Projektor, in dem ein Zersetzungs erhalten

das Muster wird als reduzierte Muster wies k-Schema.

In dem besonderen Fall, dass Boden ist bis auf Isomorphie eindeutig. Es heißt Muster Lefschetz und Mitteilungs. Wir besonders. Seine Dual, die natürlich mit identifiziert, wird als Muster Tate.

Die Rolle Lefschetz Muster ist ähnlich zu dem des affinen im Bereich von Gründen ist die affine kein Element. Insbesondere spiegelt dies die Idee, dass formalen algebraischen Geometrie "linearisiert" wird auf dem Gelände ausgebildet. Zum Beispiel gibt

was mit den Worten, dass "die projektive Ebene ist an dem Punkt des affinen und affine Ebene zusammengebaut" gelesen werden.

Theorem Jannsen

Uwe Jannsen im Jahr 1992, die die einzige Klasse von halbeinfach und abelschen Gründen ist die Kategorie der effektiven Muster für numerische Äquivalenz gebaut gezeigt, festgestellt. Die Kategorie der Chow Beweggründe enthält daher "zu viel" Morphismen halb einfach. Egal, ob aus irgendeinem Weil Kohomologie entspricht homo Gleichwertigkeit der numerischen Äquivalenz, ist eine offene Frage, die Standard-Vermutung. Dies ist eine massive Behinderung des einen kompletten Musters Theorie erhalten.

Kategorie gemischter Motive

Um vielleicht erhöhen oder die Hindernisse zu einer Theorie der Gründe, auf glatte projektive Regelungen zumindest zu klären, wurde vorgeschlagen, um das Problem zu verallgemeinern und zu suchen Muster der Kategorie für eine willkürliche Auswahl.

Das "gemischte" Adjektiv, eine solche Theorie zu beschreiben Motive hat Hodge Theorie: in einem gemischten Hodge Struktur wird die Waage mit einem Filtrations ersetzt. Dies ist analog zu dem, was passiert, wenn man nicht projektiven Schemata: ihre Kohomologiegruppen eine exakte Folge, die nicht notwendigerweise geteilt ist und daher nicht trivial Erweiterungen bilden.

Im Wesentlichen, wenn es eine Kategorie der glatten Schemata von endlichem Typ, eine Kategorie von gemischten Motiven wäre ein monoidal abelschen Kategorie MM, mit einem Funktor sein und enthält die reinen Motiven. Man könnte auch definieren eine motivische Kohomologie in dieser Kategorie. Bis heute ist kein Kandidat für die Kategorie MM bekannt.

Allerdings sind die Kategorien mit den gewünschten Eigenschaften für ihre Ableitung Kategorie vorgeschlagen worden, unter anderem Hanamura, Levine und Voevodsky. Eine Parallelkonstruktion aufgrund Voevodsky und Morel, ist es, durch die Theorie der Homotopie A¹ zu gehen, um eine Kategorie von gemischten Motiven definieren.

DM Kategorie Gründen Voevodsky

Der Bau Voevodsky ruht in mehreren Schritten:

  • Definieren Sie ein Konzept der "Finite-Korrespondenz", nicht von einem Quotienten, sondern durch die Beschränkung auf einige Klasse Treffern. Erhalten Sie eine Kategorie, die Additiv.
  • Eine Vorstellung von Homotopie komplex und Mayer-Vietoris definieren und zu prüfen, T die kleinste dicke Untergruppe, welche diese Komplexe. Durch die Anordnung in Bezug auf T, dann mit dem Umschlag Karroubi, definiert man die Kategorie der geometrischen Mustern Belegschaft. Dies ist ein monoidal Kategorie, die die Gründe für Chow enthält, in dem Sinne, dass es eine vollständige und treuer Funktor
  • Durch formal Umkehr der Muster der gemischten Tate in dieser Kategorie ist die Kategorie erhalten, die trianguliert wird.

Um MM dieser Kategorie finden würde, ein T-Struktur erfordern. Eine solche Struktur ist bis heute unbekannt.

Allerdings ist diese Kategorie ausreichend, um eine motivische Kohomologie Funktor zu fragen, zu definieren

Diese Gruppen, auf die algebraische K-Theorie verknüpft sind, spielen eine wesentliche Rolle in der Beweis der Vermutung von Milnor von Voevodsky.

Gründe, Zeta-Funktion, motivische Galois Theorie und theoretische Physik

Eine der Hoffnungen der Gründe Theorie ist, einen Rahmen zu schaffen verallgemeinert Galoistheorie, so dass die Definition der motivischen Galoisgruppen. Diese Gruppen verallgemeinern die üblichen Galois Systeme mehrerer multivariate Polynome. Es ist nicht mehr endlichen Gruppen, sondern um algebraischen Gruppen. Die Konsistenz eines solchen Ansatzes basierend auf der Vermutung von Grothen Perioden.

Beispielsweise wird die Frist auf das Motiv des privaten rechts vom Ursprung verbunden, ist die motivische Galoisgruppe die multiplikative Gruppe ℚ. Die Konjugate dieser Zahl sind die mehreren von Null verschiedenen rational. Grothendieck-Vermutung in diesem Fall entspricht der Transzendenz des π.

Wir ein ähnliches Phänomen bei der Untersuchung der Zeta-Funktion; ganz allgemein die polyzêta Zahlen, Euler eingeführt haben eine motivische zugrundeliegende Theorie von Goncharov und Brown aktualisiert. Es war diese Theorie, die die bekannteste Marke von ℚ Vektorraum von polyzêta spannt gibt.

Drinfeld führte die Grothendieck-Teichmüller-Gruppe, mit einer Lie-Algebra, deren Beschreibung verlinkt auf natürliche polyzêta Nummern zugeordnet.

Vor kurzem Kreimer und Connes entdeckt, die Einbeziehung dieser Gruppe in der Physik, als eine Gruppe von Symmetrien der Feynman-Diagramme und Kontsevich bei der Quantifizierung Probleme.

Weitere Inhalte

  • Ring von Perioden
  • Chow-Ring
  • Weil Kohomologietheorie
  • Motivische Kohomologie
  • Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
  • Hodge-Vermutung
  • Standard Conjectures
  • Tate-Vermutung
  • Triangulierte Kategorie
  • Tannakienne Kategorie
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