Poincaré-Metrik

In der Mathematik, genauer gesagt in der Differentialgeometrie, die Poincaré-Metrik durch Henri Poincaré, der metrische Tensor ein konstanter negativer Krümmung Oberfläche beschreibt. Es ist die natürliche Metrik für Berechnungen in der hyperbolischen Geometrie oder Riemann Oberflächen eingesetzt.

Zwei äquivalente Darstellungen werden in der Regel im zweidimensionalen hyperbolischen Geometrie verwendet: das Modell der Poincaré-Halbebene, eine hyperbolische Metrik Ausrüstung der oberen Halbebene, wobei die Scheibe Poincaré-Modell auf dem Einheitskreis definiert. Darüber hinaus ist die stumpfe Scheibe mit einer hyperbolischen Metrik durch die Exponentialfunktion auf der Halbebene induziert wird, nicht nur offene weise mit einem hyperbolischen Metrik verbunden ist.

Metriken auf einer Riemannschen Fläche

Eine Metrik auf der komplexen Ebene kann allgemein ausgedrückt werden als:

wobei λ eine positive reelle Funktion und z. Die Länge des γ Kurve in der komplexen Ebene wird dann gegeben durch:

Die Fläche einer Untermenge der komplexen Ebene ist gegeben durch:

Das ist das äußere Produkt. Der entscheidende Metrik gleich ist, ist die Quadratwurzel. Der Elementarbereich ist durch die metrischen und daher bestimmt

Eine Funktion wird als Potenzial, wenn Metric

Die Laplace-Beltrami ist gegeben durch:

Die Gaußsche Krümmung der Metrik gegeben durch

Diese Krümmung ist die Hälfte der skalaren Ricci-Krümmung.

Isometrien erhalten Winkel und Bogenlängen. Auf einer Riemannschen Fläche sind Isometrien entspricht einem Koordinatenwechsel; Somit ist die Laplace-Beltrami und Krümmungen unter isometrischen invariant. Zum Beispiel, wenn S ein Riemann Metrik Oberfläche und T eine Riemann Metrik Fläche, dann die Transformation:

mit eine Isometrie genau dann, wenn es im Einklang ist und wenn

Hier wird die Transformation Anforderung, die erfüllt beträgt erfordern:

das heißt,

Metrisch und Elementarbereich in der Ebene der Poincaré

Der metrische Tensor Poincaré Halbebene in der Poincaré oberen Halbebene, die der komplexen positiven Imaginärteil ist gegeben durch

Diese Verlegung Metriktensors ist unter der Wirkung von SL invariant. Mit anderen Worten, der Feststellung,

mit scheint es, dass

und

Die unendlich kleine Elemente transformiert:

und damit

Diese zeigt die Invarianz der Metriktensors unter der Wirkung von SL-Gruppe. Die Invariante Flächenelement ist gegeben durch

Die Metrik ist

für. Eine weitere interessante Form der Metrik beinhaltet das Doppelverhältnis. Vier Punkte gegeben ,, und der Riemannschen Kugel wird das Kreuzverhältnis dieser Punkte definiert durch

Die Metrik kann geschrieben werden

Hier sind und die Enden des Verbindungs ​​geodätischen und numeriert, daß sie zwischen und angeordnet sein.

Geodätischen für diese Metrik Kreisbögen senkrecht zu der reellen Achse, das heißt, die Halbkreise auf dieser Achse zentriert ist, und der Halbzeilen senkrecht zu dieser Achse,.

Korrekte Verwendung der Halbebene auf die Festplatte

Die obere Halbebene in Bijektion über die Möbius-Transformation mit der Antriebseinheit entspricht

wobei w die Stelle der Platteneinheit entsprechend dem Punkt z Halbebene. Die Konstante z0 jeder Punkt der Halbebene, die auf die Mitte der Scheibe zugeschickt wird. Die reale Achse ist, um den Einheitskreis vorstellen. Die tatsächliche Konstante entspricht einer Drehung der Scheibe.

Die kanonische

 i sendet die Herkunft und etwa 0 -i.

Metrische und Elementarbereich in der Poincaré Platte

Die Poincaré Metriktensor in der Poincaré-Scheibe auf dem offenen Einheitsscheibe gegeben

Das Flächenelement ist gegeben durch

und der Abstand zwischen zwei Punkten,

Geodätischen sind Kreisbögen senkrecht zu dem Einheitskreis Rand der Kreisscheibe.

Die stumpfe Scheibe

Eine wichtige Anwendung auf die Halbebene Anwendung festgelegt ist die Anwendung des Halbebene Platte über die Exponentialfunktion durchstochen

In der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulfunktion ist die Variable der nome q und & tgr; die Hälfte im Vergleich Perioden.

Die Poincaré-Metrik in der Halbebene induziert eine Metrik auf Q-drive

dessen Potential

Schwarz Lemma

Die Poincaré-Metrik ist eine Kontraktion Mapping auf harmonische Funktionen. Dieses Ergebnis ist eine Verallgemeinerung der Schwarz-Lemma, die so genannte Schwarz-Alhfors-Pick Theorem.

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