Schur-Zassenhaus Theorem

In der Mathematik, insbesondere in der Gruppentheorie, die Schur-Zassenhaus Satz aufgrund Issai Schur und Hans Zassenhaus, ist ein Satz über Ergänzungen einiger endlichen Gruppen Untergruppen.

Aussage des Satzes

Schur-Zassenhaus Satz Sei G eine endliche Gruppe und H eine Hall-Untergruppe von G ist; H gibt eine Ergänzung in G.

Da H angenommenen Normal in G, der Satz bedeutet, daß, unter der Annahme in Frage, G halb direktes Produkt der inneren H eine Untergruppe von G. Dieser Satz von Schur im speziellen Fall, wo H erwiesen wird zyklisch, wurde zu einem Hall-Untergruppe von jedem Zassenhaus 1937 verlängert.

Es wird durch eine relativ elementare Mittel bewiesen, dass, wenn die Annahmen des allgemeinen Satzes erfüllt sind und die mindestens zwei Gruppen H und G / H lösbar ist, all die Komplemente H in G konjugiert sind in G. In der Tat, da H ein Hall-Untergruppe von G, die Aufträge von G und G / H teiler, sodass mindestens eine dieser Aufträge ungerade ist, dann durch den Satz von Feit und Thompson, zumindest eine der Beide Gruppen H und G / H ist lösbar. Wir können die zusätzliche Annahme zu beseitigen und geben Sie die folgende Theorem: Wenn G eine endliche Gruppe und H eine Hall-Untergruppe von G, alle Komplemente von H in G konjugiert sind in G.

Die beispielsweise verwendet Schur-Zassenhaus Satz auf diesen Satz zu beweisen von Philip Hall: wenn G eine endliche Gruppe lösbar, wenn d ein Teiler der Ordnung von G, so dass d und relativ prim sind, wenn A ist eine Teilmenge -Gruppe G, deren Reihenfolge teilt d, dann gibt es eine Folge Untergruppe von G enthält A.

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