Symbol Wythoff

In der Geometrie ist ein Symbol der Wythoff eine kurze Notation erstellt von Mathematiker Willem Abraham Wythoff, um die regelmäßigen Polyeder und Halb regelmäßige Verwendung einer kaleidoskopartigen Bau, durch die sie vertreten als Pflaster auf der Oberfläche einer Kugel auf einen Namen euklidischen Ebene oder hyperbolischen Ebene.

Das Symbol Wythoff gibt drei Zahlen p, q, r und eine Positions senkrechten Balken zwischen den Anzahlen vor und nach. Jede Zahl stellt die Abfolge der Spiegel zu einem Scheitelpunkt des Grunddreiecks.

Jedes Symbol steht für eine gleichmäßige Polyeder oder ein Pflaster, obwohl auch Polyeder / Pflaster können Symbole der Wythoff verschieden von verschiedenen symmetrischen Generatoren haben. So kann beispielsweise die regelmäßige Würfel von 3 dargestellt werden | 4 2 mit einer Symmetrie Oh und 2 4 | 2 als ein quadratisches Prisma mit zwei Farben und einem D4h Symmetrie, so viel wie 2 2 2 | mit 3 Farben und D2h Symmetrie.

Übersichtstabelle

Es gibt 7 Punkte Generatoren, wobei jede Gruppe von p, q, r:

Es gibt drei spezifische Fälle:

  • p q | - Dies ist eine Mischung aus p q r | p und q s |.
  • | pqr - erweicht Formen geben diese andere ungewöhnliche Zeichen.
  • | pqrs - Eine spezielle Form für das erweichte U75, die im Sinne des Aufbaus Wythoff nicht.

Bezeichnung

Die Buchstaben p, q und r die Form der Grunddreieck nach Symmetrie, insbesondere jede Zahl die Anzahl der reflektierenden Spiegel, die an jedem Scheitelpunkt existieren. Auf dem Gebiet gibt es drei Haupttypen von Symmetrien: ,, und unendliche Familie, p = 2.3, keine ...

Die Position der vertikalen Balken in dem Symbol wird verwendet, um spezielle Formen in der Grunddreieck anzugeben. Der Erzeugungspunkt kann entweder auf oder neben jedem Spiegel, an oder ausgeschaltet werden. Diese Unterscheidung schafft acht möglichen Formen, Vernachlässigung einen Punkt, wenn Generator ist auf allen Spiegeln.

In dieser Schreibweise werden die Spiegel pr markierten Nachdenken über die gegenüberliegende Spitzen. Die Werte p, q, r sind, bevor der Bar aufgeführt, wenn die entsprechenden Spiegel aktiv ist.

Die möglichen Symbol | pqr, die die Erzeugungspunkt beinhaltet ist auf allen Spiegeln ist nur möglich, wenn das Dreieck an einer Stelle erzeugt wird. Diese ungewöhnliche Symbol zugewiesen, etwas anderes bedeuten. Diese Symbole stellen den Fall, dass alle Spiegel aktiv sind, aber die genannten ungeraden Weise reflektierten Bilder werden ignoriert. Dies bewirkt, dass die Ergebnisse der Rotationssymmetrie.

Dieses Symbol ist funktionell ähnlich Coxeter-Dynkin Diagramm, das eine allgemeinere Dreieck gekennzeichnet p, q, r an den Rändern, und Kreise auf den Knoten, die die Spiegel, wenn die berührte Stelle Generator, der Spiegel beteiligt zeigt.

Symmetrie Dreiecke

Gibt es 4 Arten von Symmetrie der Reflexionen auf der Kugel, und 2 für den euklidischen Ebene und unendlich viel für hyperbolischen Ebene, wobei die erste:

  •  Dieder Symmetrie p = 2,3,4 ...
  •  Tetraedersymmetrie
  •  Oktaedersymmetrie
  •  Ikosaedersymmetrie
  •  - Symmetrie * 442 - Dreieck 45-45-90)
  •  - Symmetrie * 333 - Dreieck 60-60-60
  •  - Symmetrie * 632 - Dreieck 30-60-90
  •  - Symmetrie * 732

Die oben genannten Symmetriegruppen enthalten nur die ganzzahligen Lösungen auf der Kugel. Die Liste der Schwarz Dreiecke sind rationale Zahlen, und bestimmen Sie die gesamte Reihe von Lösungen von einheitlichen Polyeder.

In Bürgersteige erwähnt, ist jedes Dreieck ein Grundbereich, bunten Reflexionen in Paaren und ungerade.

Zusammenfassung sphärischen Pflasterungen und Pläne

Eine Auswahl von Bodenbelägen erstellt von Wythoff Konstruktion sind unten angegeben.

Die kugelförmigen Pflasterungen

Pavages planar

Ein Vertreter hyperbolischen Fliesen gegeben ist und als Poincaré Scheibenprojektion gezeigt.

Pavages planar

Coxeter-Dynkin Diagramm ist in einer linearen Form gegeben, obwohl es ein Dreieck ist, wobei die Hinter r Segments zu dem ersten Knoten verbunden ist.

Eingänge aus sphärischen Pflasterungen

Die Bürgersteige sind als Polyeder dargestellt. Einige dieser Formen sind degenerierte Daten durch Klammern Knotenfiguren, mit Kanten oder überlappenden Peaks.

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