Theorem Donsker

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, stellt der Satz Donsker Konvergenz der Verteilung einer Zufallsbewegung zu einem Gaußschen stochastischen Prozess. Es ist manchmal auch die funktionale zentrale Grenzwertsatz.

Dieser Satz ist eine Referenz für die Konvergenz in Verteilung von Irrfahrten auf einen zeitkontinuierlichen Prozess renormiert. Viele Sätze werden dann "type Donsker" bezeichnet.

Klassische Erklärung

Eine Folge von Zufallsvariablen iid zentriert, quadratisch integrierbar und Varianz.

Die Irrfahrt ist so stückweise lineare Berücksichtigung der durch definierte Verfahren interpoliert

Betrachten wir den Raum der Funktionen mit echten und fortlaufende Werte. Wir verleihen dem Borel und unendliche Norm. Somit ist eine Zufallsvariable mit Werten.

Lehrsatz

Die Folge konvergiert in Verteilung gegen eine Standard-Brownsche Bewegung als n gegen unendlich geht.

Hier B als ein zufälliges Element gesehen.

Ideen Demonstration

Hinweis

Verwendung Tschebyscheff-Ungleichung zeigen wir, dass Konvergenz in Wahrscheinlichkeit auf 0.

Somit zum zentralen Grenzwertsatzes, wobei N eine Zufallsvariable mit Normalverteilung.

Ebenso gibt es nacheinander erhaltenen

Das ist ein Standard-Brownsche Bewegung.

Es bleibt zu zeigen, daß die Folge ist gespannt. Hierzu zeigen wir, dass

Wir zeigen zunächst, dass die Konvergenz zu dem Fall, wo Variablen sind normal. Um ein Gesetz zu verallgemeinern, mit dem zentralen Grenzwertsatz und die Ungleichheit der Chebyshev-Bienaymé Steigerungen zu verfeinern.

Erklärung der empirischen Prozess

Ein iid Folge von Zufallsvariablen Uniform Act. Wir bezeichnen F die gemeinsame Verteilungsfunktion Variablen. Wir definieren die empirische Verteilungsfunktion Fn der Probe X1, X2, ..., Xn durch

und der damit verbundenen empirischen Prozess Wn durch

Betrachten wir die Funktionen auf Càdlàg Raum mit der Topologie Skorokhod.

Der folgende Satz Prozess konvergiert in Verteilung im Raum zu einer Brownschen Brücke als n gegen unendlich geht.

Siehe auch

  • Glivenko-Cantelli-Theorem
  • Kolmogorov-Smirnov-Test
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